Question

Determine la constante C tal que
$y = {e}^{ - x} \cos(2x)$
sea solución de la ecuación diferencial y"+2y'+Cy=0​

Answer 1

C = 5  permite comprobar que  $y={e}^{-x}\cos(2x)$    es solución de la ecuación diferencial   y" + 2y' + Cy  =  0​

Explicación:

En principio debemos calcular la primera y la segunda derivada de la función  y. Luego sustituir  y,  y',  y''  en la ecuación diferencial y operar hasta deducir el valor de  C  que satisfaga la igualdad; es decir, el valor de  C  que anule el lado izquierdo de la ecuación:

$y={e}^{-x}\cos(2x)$  

$y'=-{e}^{-x}\cos(2x)-2{e}^{-x}\sen(2x)$  

$y''={e}^{-x}\cos(2x)+2{e}^{-x}\sen(2x)+2{e}^{-x}\sen(2x)-4{e}^{-x}\cos(2x)$  

Sustituyendo

y" + 2y' + Cy  =  0​        ⇒

${e}^{-x}\cos(2x)+4{e}^{-x}\sen(2x)-4{e}^{-x}\cos(2x)+2(-{e}^{-x}\cos(2x)-2{e}^{-x}\sen(2x))+C({e}^{-x}\cos(2x)=0$

⇒        $-5{e}^{-x}\cos(2x)+C{e}^{-x}\cos(2x)=0$        ⇒

$(C-5){e}^{-x}\cos(2x)=0$        ⇒

       C - 5  =  0        ⇒        C  =  5