Question

determine el valor de k para que l recta x-2y+k=0. la parabola de ecuacion y^2=6x-3: a.sean tangentes B.sean secantes C.no se corten ningun punto

Answer 1

Se intenta buscar los puntos de intersección entre la recta y la parábola, por sustitución:

y = (x + k)/2; reemplazamos en la parábola:

[(x + k)/2]² = 6 x - 3

Quitamos el paréntesis (4 al segundo miembro)

x² + 2 k x + k² = 4 (6 x - 3) = 24 x - 12

Reordenamos como una ecuación de segundo grado en x

x² + x (2 k - 24) + k² + 24 = 0

Si el discriminante es nulo, hay una única solución; resulta recta tangente

Si es positivo, dos raíces; recta secante

Si es negativo, no hay raíces reales; la recta no corta a la parábola.

Δ = b² - 4 a c = (2 k - 24)² - 4 (k² + 12)

Δ 4 k² - 96 k + 576 - 4 k² - 48

Δ = - 96 k + 528

1) Δ = 0; k = 11/2 (tangente)

2) Δ > 0; - 96 k + 528 > 0, k > 11/2 (corta en 2 puntos)

3) Δ < 0; - 96 k + 528 < 0, k < 11/2 (no corta a la parábola)

Con k = 11/2, el punto de tangencia es P(13/2, 6)

Adjunto gráfico con el caso de tangentes.

Saludos Herminio