Question

Determine el polinomio p(x) de cuarto grado que cumpla las siguientes condiciones
El coeficiente de x^4 es 1
p (1) =0
p(x) es divisible para el trinomio x^2+ 2x + 2.
Al dividir p(x) para x el residuo es −2.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

1) si el coeficiente de x^4 es 1, entoces:

p(x) = x^4+ax^3+bx^2 +cx + d

2) si p(1)=0, entonces, p(x) es divisible entre (x-1)

3)  p(x) es divisible entre x^2+2x+2

4) si p(x)/x tiene residuo -2, entonces, p(x)+2 es divisble entre x.

de 1) y 4)

p(x)+2=x^4+ax^3+bx^2 +cx + d+2 es divisible entre x,

entonces, d+2=0

5) d= -2

6) el polinomio tiene la forma

p(x)=x^4+ax^3+bx^2 +cx -2

de 2) y 3)

(x-1)(x^2+2x+2)=x^3+2x^2 +2x -x^2-2x-2=x^3+x^2 -2

7) p(x) es divisible entre x^3+x^2 -2

Puesto que empieza por x^4 = x^3(x)

y como termina en -2= -2(1), entonces,  p(x) tiene como divisor a (x+1)

p(x)=(x^3+x^2 -2)(x+1)=x^4+x^3 -2x  + x^3+x^2 -2

p(x)=x^4+2x^3 +x^2-2x -2