Question

Determina la mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 1 metro.

Answer 1

Sean x e y los catetos del triángulo

La superficie es S = 1/2 x . y

Por otro lado es y = √(1 - x²)

S = 1/2 x √(1 - x²)

Una función es máxima en los puntos en que su primera derivada es nula.

Para simplificar la derivada: Si S es máximo, S² también

S² = 1/4 x² (1 - x²) = 1/4 x² - x⁴, derivamos:

2 S S' = 1/4 (2 x - 4 x³) = 0

Descartamos x = 0;

Queda x = √2 / 2

y = √/[1 - (√2 /2)²] = √2 / 2

Resulta un triángulo rectángulo isósceles.

S = 1/2 .√2 /2 . √2 / 2 = 1/4 = 0,25 m²

Se adjunta dibujo de la función superficie con su valor máximo indicado.

Mateo