Question

Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y es paralela a la recta x – 3y + 2 = 0.
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, 5) y su pendiente es -5.
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, -3) y (4, 2).
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (-1, 5) y es paralela a la recta 2x + y + 2 = 0.
Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -4) y es perpendicular a la recta 10x + 7y + 2 = 0.

Answer 1

La ecuación general de la recta tiene la forma:

y = mx + b

Donde "m" es la pendiente de la reca y "b" es la ordenada al origen (valor de "y" cuando "x" vale cero).
Rectas paralelas tienen igual pendiente. Y si "m" es la pendiente de una recta, "-1/m" es la pendiente de las rectas perpendiculares.


1. Recta paralela a "x-3y+2=0" que pasa por el punto (2,3). Escribamos esa recta en sugorma general para conocer la pendiente, despejando "y":

-3y = -x -2

y = (1/3)x + (2/3)

La pendiente de la recta paralela será m=1/3. La forma general de la recta paralela será:

y = (1/3)x + b

Reemplazamos el par ordenado (2,3) en la forma general para averiguar "b":

3 = (1/3).2 + b

b = 3 - (2/3) = 7/3

Entonces la ecuación buscada es:

y = (1/3)x + (7/3)


2. Recta que tiene pendiente m=-5 y pasa por el punto (4,5). La pendiente es dato, escribimos la forma general de la ecuación buscada:

y = (-5)x + b

Reemplazamos el par ordenado (4,5) para despejar b:

5 = (-5).4 + b

b = 5 + 20 = 25

Entonces la ecuación buscada es:

y = (-5)x + 25


3. Recta que pasa por los puntos (2,-3) y (4,2). La pendiente puede calcularse en base a los dos puntos como el cociente de la diferencia en "y" sobre la diferencia en "x", entre ambos. Es decir:

m = (2 - (-3)) / (4 - 2) = 5/2

Entonces la forma general de la ecuación buscada es:

y = (5/2)x + b

Reemplazamos uno de los dos pares ordenados, por ejemplo (2,-3), para despejar b:

-3 = (5/2).2 + b

b = -3 - 5 = -8

Entonces la ecuación buscada es:

y = (5/2)x -8

Verifique por favor que la ecuación se cumple para el otro par ordenado (4,2), reemplazando. Lo que significa que el punto está contenido en la recta.


4. Recta paralela a 2x + y + 2 = 0, que pasa por el punto (-1,5). Despejamos y de la ecuación que es dato para conocer la pendiente de esa recta:

y = -2x - 2

Por lo tanto la recta tiene pendiente m=-2. Escribimos la forma general de la ecuación de una recta paralela:

y = (-2)x + b

Reemplazamos el par ordenado (-1,5) para despejar b:

5 = (-2).(-1) + b

b = 5 - 2 = 3

Entonces la ecuación de la recta buscada es:

y = (-2)x + 3


5. Recta perpendicular a 10x + 7y + 2 = 0, que pasa por el punto (1,-4). Escribimos la ecuación que es dato en su forma general para conocer la pendiente, despejando "y":

7y = (-10)x - 2

y = (-10/7)x - (2/7)

La pendiente de la recta original es m=(-10/7), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares es:

-1/m = 7/10

Por la tanto la pendiente de la nueva recta será m= (7/10). Escribimos la ecuación general:

y = (7/10)x + b

Reemplazamos el par ordenado (1,-4) y despejamos b:

-4 = (7/10).1 + b

b = -4 -(7/10) = -(47/10)

Por lo que la ecuación de la recta buscada es:

y = (7/10)x - (47/70)