Question

Determina el mayor valor de "m" para que x² +2(m+2)x+9m=0 tenga dos raices iguales

Answer 1

para que una ecuación cuadrática tenga dos raíces iguales la discriminante debe ser =0
b²-4ac =0
donde
b = coeficiente de x
a= coeficiente de x²
c= el término independiente
reemplazando.
b²-4ac=0
{2(m+2)}²-4(1)(9m)=0
(2m+4)²-36m =0
(4m²+8m+16)-36m =0
4m²- 20m+16=0 simplificado
m²-5m+4=0
(m-4)(m-1)=0 factorizando
m-4=0 | m-1=0
m= 4 | m= 1
M puede tomar lo valores de m=4 y m=1, para que tenga 2 raices iguales :)

Answer 2

Lo primero a saber es que si la condición a cumplir es que las raíces sean iguales, ha de ocurrir que el discriminante (lo que queda dentro de la raíz de la fórmula general, sea cero.

$x_1_,x_2= \frac{ -b (+-) \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \ si\ \ b^2-4ac=0 \ ... \\ \\ x_1_,x_2= \frac{ -b (+-)0 }{2a}= \frac{-b}{2a} \ solo\ una\ solucion$

Por tanto la ecuación a  plantear es precisamente igualar a cero lo que hay dentro de la raíz teniendo en cuenta los coeficientes del ejercicio que son:

$a=1 \\ b=2(m+2) \\ c=9m$

Ecuación:
[2(m+2)]² - 4·1·9m = 0 -------> 4(m²+4m+4) -36m = 0

4m² +16m +16 -36m = 0

4m² -20m +16 = 0 ... simplificando al dividir todo por 4 ...

m² -5m +4 = 0

Por fórmula general nos quedan las soluciones...
$\left \{ {{m_1=\ \frac{5+3}{2}=\ 4 } \atop {m_2=\ \frac{5-3}{2}=\ 1 }} \right.$

Esos dos valores de "m" cumplen la condición.

Saludos