Question

determina dos números cuya suma sea 8 de modo que la suma de sus cuadrados sea mínima

Answer 1

Determina dos números cuya suma sea 8 de modo que la suma de sus cuadrados sea mínima.

Resolvemos:

x = Número
y = Número

Entonces...

$\textbf{Ecuaci\'on:} \\ \\ x+y=8 \\ \\ S=x^2+y^2 \\ \\ \textbf{Despejamos \ la \ 1\° \ ecuaci\'on \ y \ sustituimos \ en \ la \ otra:} \\ \\ y=8-x \\ \\ S=x^2+(8-x)^2 \\\\ \textbf{Desarollamos \ el \ binomio:} \\\\ \boxed{Formula: \ a^2-2ab+b^2} \\ \\ \textbf{Reemplazamos: } \\ \\ (8)^2-2(8)(x)+(x)^2 \\ \\ 64-16x+x^2 \\ \\ Organizamos: \\ \\ x^2-16x+64\\\\ \textbf{Reescribimos: } \\ \\ S=x^2+x^2-16x+64 \Rightarrow Sumamos$

$S=2x^2-16x+64 \Rightarrow Derivamos \ e \ igualamos \ a \ 0 \\ \\ S' = 2\cdot 2x-16 \\ \\ S' = 4x-16 = 0 \\ \\ 4x-16= 0 \\ \\ \textbf{Resolvemos \ la \ ecuaci\'on:} \\ \\ x= \dfrac{16}{4} \\ \\ \boxed{\boxed{x=4}} \\ \\ \textbf{Hallamos \ la \ segunda \ derivada: } \\ \\ S'' = 4x-16 \\ \\ S''=4 \\\\ \textbf{Reemplazamos: }\\ \\ S''= 4 \ \textgreater \ 0 \Rightarrow Como \ es \ mayor \ que \ 0 \ el \ valor \ de \ x \ es \ un \ m\'inimo$

$\textbf{Reemplazamos \ en \ la \ primera \ que \ despejamos: } \\\\ y=8-4 \\ \\ y=4 \\ \\ \textbf{Respuesta: Los \ n\'umeros \ son \ 4 \ y \ 4 \ \checkmark}$

¡Espero haberte ayudado, saludos... G.G.H!