Question

desde un punto se observa la parte superior de una torre con angulo de elevacion α, y desde el punto medio de la distancia que separa el pie de la torre y el punto, el angulo de elevacion es complemento de α calcular tangente del segundo angulo

Answer 1

Adjunto imagen.

De entrada hay que tener claro lo que nos pide calcular que es la tangente del complementario de  α, es decir, del ángulo  (90-α) y ese es el objetivo.

Para este ejercicio hay que conocer un poco de las identidades y razones trigonométricas y las relaciones que existen entre ellas.

Concretamente me refiero a la identidad entre tangentes de ángulos complementarios que es lo que se nos propone aquí.

La identidad a que me refiero dice:

$tan\ (90-\alpha)\ =\ cot\ \alpha \\ \\ \\ cot\ \alpha =\dfrac{1}{tan\ \alpha } \\ \\ \\ tan\ (90-\alpha)\ =\ \dfrac{1}{tan\ \alpha }\\ \\ \\ \boxed{\bold{tan\ \alpha=\dfrac{1}{tan\ (90-\alpha) }}}$

Nos quedamos con esta última igualdad.

He adjuntado una imagen para verlo más claro y ahí se aprecian dos triángulos rectángulos:  ABC y DBC

Por otro lado, sabemos que la tangente de un ángulo se obtiene dividiendo el cateto opuesto por el cateto adyacente y eso trasladado a nuestro ejercicio,  y para cada triángulo,  será:

tan α  =  Y / X

tan (90-α) = Y / (X/2)

Despejaré "Y" en ambas fórmulas:

Y = X · tan α

Y = (X/2) · tan (90-α)

Dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelvo por igualación:

$X*tan\ \alpha =\dfrac{X}{2} *tan\ (90-\alpha )\\ \\ desaparecen\ las\ X\ y\ queda\ ...\\ \\ tan\ \alpha =\dfrac{tan\ (90-\alpha) }{2}$

Apoyándome en la igualdad remarcada al principio, sustituyo tan α

$\dfrac{1}{tan\ (90-\alpha) } =\dfrac{tan\ (90-\alpha)}{2} \\ \\ \\ tan^2\ (90-\alpha) =2\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\bold{tan\ (90-\alpha) =\sqrt{2}}}}$

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Ahí queda la solución.