Question

Desde un punto de la Tierra se divisa la altura de un poste con un ángulo de elevación "a" cuando la distancia "a" separa del poste se a reducido a su tercera parte
El ángulo de elevación se duplica¿cuanto vale a?

Answer 1

Fíjate en la imagen adjunta.

Acudiendo a la función trigonométrica de la tangente tenemos:
$tg.\ \alpha = \frac{h}{a} \ \ \ despejando\ "h"... \\ \\ h=a*tg\ \alpha$

Por el mismo razonamiento tenemos:
$tg.\ 2\alpha = \frac{h}{a/3} \\ \\ h=(a/3)*tg.\ 2\alpha= \frac{a*tg.\ 2\alpha}{3}$

La fórmula de la tangente del ángulo doble dice: $tg.\ 2\alpha= \frac{2*tg \alpha }{1-tg^2 \alpha }$

Sustituyo arriba... $h=\frac{a* \frac{2*tg \alpha}{1-tg^2 \alpha } }{3} = \frac{2a*tg \alpha }{3-3tg^2 \alpha }$

Ahora por el método de igualación...
$a*tg\ \alpha=\frac{2a*tg \alpha }{3-3tg^2 \alpha }$

Y como nos pide el valor de "a", hay que despejarlo de esa ecuación.
$a*tg\ \alpha=\frac{2a*tg \alpha }{3-3tg^2 \alpha } \\ \\ 3a*tg \alpha -3a*tg^3 \alpha =2a*tg \alpha \\ \\ 3a*tg \alpha-2a*tg \alpha-3a*tg^3 \alpha =0 \\ \\ a*tg \alpha -3a*tg^3 \alpha =0\ \ \ ...\ saco\ factor\ comun\ de\ "a" \\ \\ a*(tg \alpha -3tg^3 \alpha )=0$

Pero no veo la manera de encontrar el valor de "a" ya que no puede despejarse de esta ecuación al estar igualada a cero y no tener término independiente.

He repasado las operaciones y no veo errores, quizá no sea este el método para llegar a saber el valor de "a".

Te la dejo expuesta por si te da alguna idea ya que me ha costado bastante tiempo dibujar y razonar. Desgraciadamente no me ha servido para llegar al final.

Saludos.