Question

Desde lo alto de un edificio de 24 m. De altura una persona observa un automovil con un ángulo de depresión de 40°. ¿ A que distancia del edificio se encuentra el automovil ?.

Answer 1

La distancia desde el edificio hasta donde se encuentra el automóvil es de 28.60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador avistando un automóvil-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el automóvil -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta dicho automóvil, el cual es visto con un ángulo de depresión de 40°

Donde se pide hallar:

A que distancia del edificio se encuentra el automóvil

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 40° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 40°

• Altura del edificio = 24 metros

• Ángulo de depresión = 40°

• Debemos hallar a qué distancia del edificio se encuentra el automóvil

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio - donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 40° y debemos hallar a qué distancia del edificio se encuentra el automóvil- el cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la distancia desde el edificio hasta donde se encuentra el automóvil

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =40^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(40^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(40^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ auto } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(40^o) } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ 24 \ m }{ tan(40^o) } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ auto = \frac{ 24 \ m }{ 0.839099631177 } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ auto = 28.602086 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ auto = 28.60 \ metros } }$

Por lo tanto la distancia desde el edificio hasta donde se encuentra el automóvil es de 28.60 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto