Question

Desde la parte más alta de una vieja casona, un niño observa un perro que se encuentra en la calle con un ángulo de 37°. Si la altura de la casa es de 9 m, ¿a qué distancia de la base de la casa se encuentra el perro?

Answer 1

La distancia desde la base de la casa hasta donde se encuentra el perro es de 12 metros

Siendo correcta la opción D

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura de la vieja casona junto con el suelo donde esta se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura de la casa -donde se halla el niño observando un perro que se encuentra en la calle-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base de la casa hasta el perro en la calle -ubicado en A- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del niño -ubicado en lo alto de la casa- hasta el perro en la calle, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°

Donde se pide hallar:

La distancia desde la base de la casa hasta donde se encuentra el perro

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura de la casa donde se encuentra el  niño observador y de un ángulo de depresión de 37°

• Altura de la casa = 9 metros

• Ángulo de depresión = 37°

• Debemos hallar a qué distancia desde la base de la casa se encuentra el perro

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura de la casa- donde se ubica el  niño observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 37° y debemos hallar a que distancia desde la base de la casa se encuentra el perro en la calle- el cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde la base de la casa hasta donde se encuentra el perro

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura \ de \ la \ casa }{ distancia \ al \ perro } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ perro = \frac{ altura \ de \ la \ casa }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ perro = \frac{ 9\ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ perro = 9\ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ perro = \frac{36 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ perro = 12 \ metros } }$

Luego la distancia desde la base de la casa hasta donde se encuentra el perro es de 12 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto