Question

Desde la cima de una torre un guardabosque observa el extremo norte de un lago a 15km de distancia y el extremo sur del lago a 19km de distancia. el ángulo entre estás dos distancias es de 38°. ¿Cuál es el ancho del lago?

Answer 1

El ancho del lago es de aproximadamente 11.70 kilómetros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos, es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces se cumplen las relaciones:

$\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$

$\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde el vértice C representa el punto donde se ubica el guardabosques en la cima de una torre -avistando un lago-, en donde el lado BC (a) equivale a la distancia observada hasta el extremo norte del lago y el lado AC (b) es la segunda distancia observada hasta el extremo sur de dicho lago. Donde ambas longitudes forman un ángulo de 38°

Donde se pide determinar el ancho del lago

Hallamos el ancho del lago AB (c) - donde esta distancia está comprendida entre los puntos A y B donde se ubican los dos extremos Norte-Sur del mismo

La cual está dada por el lado faltante del triángulo el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar el ancho del lago

Por el teorema del coseno podemos expresar:

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(C ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = (15 \ km) ^{2} + ( 19 \ km) ^{2} - 2 \ . \ 15 \ km \ . \ 19\ km \ . \ cos(38^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 225 \ km ^{2} + 361 \ km^{2} - 570 \ km^{2} \ . \ cos(38^o) }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 586 \ km^{2} - 570 \ km^{2} \ . \ 0.788010753607 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 586 \ km^{2} -449.16612955599 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 136.83387044401 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 136.83387044401 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{136.83387044401 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 11.6976\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 11.70 \ km}}$

El ancho del lago es de aproximadamente 11.70 kilómetros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados