Question

de un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comité con 2 matemáticos
y 3 físicos ¿de cuantas formas puede integrarse el comité?
a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico
b) un físico determinado debe pertenecer al comité
c) dos matemáticos determinados no pueden pertenecer al comité

Answer 1

COMBINATORIA. Ejercicios

Empiezo con la opción a)

que dice que cualquier matemático o físico puede pertenecer al comité de 2 matemáticos y 3 físicos.

Para saber el total de formas de formar el comité hay que combinar los matemáticos por un lado, los físicos por otro y finalmente multiplicar los resultados ya que a cada combinación de matemáticos podremos asociar cada una de las combinaciones de los físicos.

Tenemos 5 matemáticos a combinar de 2 en 2

COMBINACIONES DE 5 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

La fórmula por factoriales dice:  $C_m^n=\dfrac{m!}{n!*(m-n)!}$

Sustituyo datos:  $C_5^2=\dfrac{5!}{2!*(5-2)!}=\dfrac{5*4*3!}{2*1*3!} =\dfrac{20}{2}=10\ formas$

Tenemos 7 físicos a combinar de 3 en 3

COMBINACIONES DE 7 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 3 EN 3 (n)

$C_7^3=\dfrac{7!}{3!*(7-3)!}=\dfrac{7*6*5*4!}{3*2*1*4!} =35\ formas$

Ahora queda multiplicar:  10 × 35 = 350 comités en la opción a)

Sigo con la opción b)

que dice que un físico determinado DEBE pertenecer al comité, siempre. Eso implica que en el apartado de los físicos hay que descartar a esa persona del nº de elementos a tener en cuenta para combinar de tal modo que en este caso solo hemos de combinar 6 elementos (físicos) tomados de 2 en 2 y no de tres en tres porque siempre habrá ya un físico incluido en la combinación.

COMBINACIONES DE 6 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

$C_6^2=\dfrac{6!}{2!*(6-2)!}=\dfrac{6*5*4!}{2*1*4!} =15\ formas$

De nuevo multiplicamos este resultado por el de los matemáticos que no ha variado y tenemos:

10 × 15 = 150 comités en la opción b)

Sigo con la opción c)

que dice que dos matemáticos determinados NO pueden pertenecer al comité. Tal cosa hace que solo podamos combinar a los matemáticos restantes que serán  5-2 = 3 matemáticos.

COMBINACIONES DE 3 ELEMENTOS (m) TOMADOS DE 2 EN 2 (n)

$C_3^2=\dfrac{3!}{2!*(3-2)!}=\dfrac{3*2*1}{2*1*1} =3\ formas$

Multiplico por los físicos de la primera opción y tengo:

3 × 35 = 105 comités en la opción c)

Saludos.

Answer 2

Si puede pertenecer cualquier matemático o físico hay un total de 350 maneras, si un físico determinado debe pertenecer hay 210 opciones y si dos matemáticos no pueden pertenecer, entonces hay 105 opciones

Combinación: es la manera de tomar de un conjunto de n elementos k de ellos, donde el orden de selección no es relevante. La ecuación que cuenta la cantidad de combinaciones es:

Comb(n,k) = n!/((n-k)!*k!)

Veamos:

a) Puede pertenecer cualquier matemático y cualquier físico, entonces de los 5 matemáticos tomo 2 y de los 7 físicos tomo 3:

Comb(5,2)*Comb(7,3)

= 5!/((5 -2)!*2!)*7!/((7 - 3)!*3!) = 10*35 = 350

b) un físico determinado debe pertenecer al comité: entonces de 5 matemáticos tomo 2 y de los 7 físicos tomo 2:

Comb(5,2)*Comb(7,2)

= 5!/((5 -2)!*2!)*7!/((7 - 2)!*2!) = 10*21 = 210

c) Dos matemáticos determinados no pueden pertenecer al comité, entonces de los otros 3 matemáticos tomo 2 y de los 7 físicos tomo 3:

Comb(3,2)*Comb(7,3)

= 3!/((3 -2)!*2!)*7!/((7 - 3)!*3!) = 3*35 = 105

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