Matemáticas, pregunta formulada por yiseulbia, hace 1 año

de un rectangulo PQRS se ha recortado un rombo ABCD de diagonales AC=8 y BD =6
Hallar el minimo valor posible del area del rectangulo PQRS

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
6
El problema se reduce en minimizar la suma de áreas de dos triángulos adyacentes formados por el rombo y el rectángulo, dicho sea de paso que tales rectángulos tienen la misma hipotenusa cuya medida es 5.

Pongamos la medida de un ángulo de un susodicho triángulo igual a \phi y que sea separado por un ángulo igual a 53\° + 53\°=106\° por ende el ángulo del otro triángulo sería 74\°-\phi. El área del primer triángulo es A_1=\dfrac{5\sin\phi~\cos\phi}{2}=\dfrac{5}{4}\sin 2\phi y del otro triángulo es A_2=\dfrac{5\sin(74\°-\phi)~\cos(74\°-\phi)}{2}=\dfrac{5}{4}\sin(148\°-2\phi)=\dfrac{5}{4}\sin(2\phi-32\°)
 
Entonces lo que tenemos que minimizar es

S(\phi)=A_1+A_2=\dfrac{5}{4}\left[\sin 2\phi+\sin(2\phi-32\°)\right]\\ \\ \\
S(\phi)=\dfrac{5}{2}\sin(2\phi-16\°)\cos 16\°\\ \\ \\
S(\phi)=\dfrac{5}{2}\sin(2\phi-16\°)\cdot\dfrac{24}{25}

S(\phi)=\dfrac{12}{5}\sin(2\phi-16\°)~,~16\°\leq \phi\leq 90\°\\ \\ \\
\texttt{Probemos en los extremos del intervalo:}\\ \\
S(16\°)=\dfrac{12}{5}\sin16\°=\dfrac{12}{5}\cdot \dfrac{7}{25}=\dfrac{84}{125}\\ \\ \\
S(90\°)=\dfrac{12}{5}\sin(180\°-16)=\dfrac{84}{125}\\ \\ \\
\texttt{Entonces el \'area m\'inima del rect\'angulo es: }\\ \\ \\
A=24+2\times \dfrac{84}{125}\\ \\ \\
\boxed{A= 25.344}
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