De un grupo de 110 estudiantes de idiomas, 70 estudian inglés, 20 no estudian ni inglés ni francés, los que estudian francés es el doble de los que solo estudian inglés ¿Cuántos estudian ambos idiomas?
Respuestas a la pregunta
Solución: 90 estudiantes estudian varios idiomas, además 60 estudian francés, 70 estudian ingles y 40 estudian ingles y francés, por lo que 30 solo estudian ingles y 20 solo estudian francés.
Explicación paso a paso:
Sea A el conjunto de los estudiantes que estudian ingles, sea B el conjunto de los estudiantes que estudian francés.
Sea el cardinal de un conjunto el tamaño cantidad de elementos del mismo. Que se representa con las barras | |, tal que el cardinal d eun conjunto C sea: |C|.
Entonces por teoría de conjunto tenemos la siguiente ecuación
|A∪B|= |A|+|B|-|A∩B|
En este caso
|A| = 70
Complemento(|AUB|)= 20
Pero |AUB|+Complemento(|AUB|) = 110
|AUB|+20= 110
|AUB|= 90
90 estudiantes estudian ambos idiomas. Veamos otras cosas.
Los que estudian francés es el doble de los que solo estudian ingles. Entonces
|B| = 2(|A|-|A∩B|) = 2*70-2|A∩B| = 140-2|A∩B|
Sustituyendo en la ecuación 1:
|A∪B|= |A|+140-2|A∩B| -|A∩B| = |A|+140-3|A∩B|
⇒90 = 70+140-3*|A∩B|
3*|A∩B| = 210-90
|A∩B| = 40
|B| = 140-2*40= 140-80 = 60
60 estudian francés, 70 estudian ingles y 40 estudian ingles y francés, por lo que 30 solo estudian ingles y 20 solo estudian francés.