Matemáticas, pregunta formulada por danielacruzt4179, hace 1 mes

Dados los puntos ,(1,0),(2,9. 1)y(3,0), sea ∫_3^1▒P (x) su polinomio interpolante. El valor de se encuentra dado por:

Respuestas a la pregunta

Contestado por josesosaeric

Tenemos que, tomando los puntos dados por (1,0),(2,9) y (3,0), calculando su polinomio de interpolación para evaluarlo en la integral dado, vamos a obtener lo siguiente

Pregunta 1: ¿Cuál es el polinomio de interpolación de los puntos dados por (1,0), (2,9) y (3,0)?

El polinomio de interpolación está dado por $P(x) = -9x^2+36x-27$
Pregunta 2: ¿Cuál es la integral del polinomio de interpolación en el intervalo de 3 a 1?

El resultado de la integral sobre el polinomio de interpolación está dado por

$\int_{1}^{3} P(x) = 12$

Planteamiento del problema

Vamos a establecer las condiciones para tomar el polinomio de interpolación para los puntos dados por (1,0),(2,9) y (3,0), donde obtendremos un polinomio de interpolación de segundo grado para la pregunta 1, de la forma $y = ax^2+bx+c$

Donde, luego vamos a aplicar la integral desde el intervalo 3 a 1, obtendremos lo siguiente

Pregunta 1: ¿Cuál es el polinomio de interpolación de los puntos dados por (1,0), (2,9) y (3,0)?

El polinomio de interpolación está dado por $P(x) = -9x^2+36x-27$ , el cual lo vamos a obtener con el siguiente sistema de ecuaciones, vamos a tomar los puntos de forma (x,y) donde sustituiremos por su valor de "x" y su valor de "y"

$y = ax^2+bx+c$

Para (1,0) obtenemos $a+b+c = 0$
Para (2,9) obtenemos $4a+2b+c = 9$
Para (3,0) obtenemos $9a+3b+c = 0$

Ahora resolviendo este sistema de ecuaciones con el método de Gauss vamos a tener lo siguiente

$\begin{equation}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\4 & 2 & 1 & 9 \\9 & 3 & 1 & 0\\\end{pmatrix}$

Ahora vamos a aplicar lo siguiente $F_2-4F_1 \longrightarrow F_2$ , donde $F_i$ es la fila número $i$

$\begin{equation}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 9 \\9 & 3 & 1 & 0\\\end{pmatrix}$

Luego vamos a aplicar $F_3 -9F_1 \longrightarrow F_3$

$\begin{equation}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 9 \\0 &-6 & -8 & 0\\\end{pmatrix}$

Ahora vamos a aplicar última operación de filas dada por $F_3 -3F_2 \longrightarrow F_3$

Por lo tanto, tendríamos el siguiente sistema de ecuaciones reducido

(1) $a+b+c = 0$
(2) $-2b-3c=9$
(3) $c = -27$

De (2) encontramos el valor de $b$

$-2b=9+3c=9+3*(-27)=-72$
$-2b = -72$
$b = 36$

De (1) obtenemos el valor de $a = -9$

Como resultado, el polinomio de interpolación estará dado por

$y =-9x^2+36x-27$
Pregunta 2: ¿Cuál es la integral del polinomio de interpolación en el intervalo de 3 a 1?

El resultado de la integral sobre el polinomio de interpolación está dado por

$\int_{1}^{3} P(x) = 12$

Vamos a tomar el polinomio de interpolación, el cual está dado por lo siguiente

$P(x) = -9x^2+36x-27$

Por lo tanto, vamos a aplicar la integral definida

$\int_{1}^{3} -9x^2+36x-27 = -3(3)^3+18(3)^2-27-(-3(1)^3+18(1)^2-27) = 12$