Matemáticas, pregunta formulada por Facebook17julia, hace 1 año

Dados dos vertice z1 y z2 de un triangulo equilátero en el plano complejo, hallar su tercer vertice


Usuario anónimo: Método analítico o gráfico?

Respuestas a la pregunta

Contestado por Usuario anónimo
2
El vértice faltante z_3 se hallará sobre la mediatriz del segmento que une z_1 y z_2, con distancia a los vértices igual a la longitud del segmento, por lo tanto para complejos de la forma:

z_1:\:(x_1,y_1)
z_2:\:(x_2,y_2)

La mediatriz tendrá pendiente inversa y opuesta al segmento que une z_1 y z_2, por lo tanto, si el segmento tiene pendiente m, se sigue:

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Luego la mediatriz tendrá pendiente -\frac{1}{m}

-\frac{1}{m}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}

Además sabemos que esta mediatriz pasará por el punto medio entre z_1 y z_2, es decir, pasará por (\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}) por lo que reemplazamos en la recta de la mediatriz

\frac{y_1+y_2}{2}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+b

Multiplicamos a ambos lados por 2 y distribuimos el menos adentro de la fracción de la pendiente

y_1+y_2=2\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}(x_1+x_2)+b

y_1+y_2=2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}+b

b=y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}

Por lo que la ecuación de la mediatriz queda:

y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}

Llamemos r a la distancia entre z_1 y z_2, que se calcula:

r=+\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

Luego planteamos la ecuación de una circunferencia con centro z_1 y radio r

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2

Sabemos que z_3 pertenece a la intersección entre esta circunferencia y la mediatriz, por lo tanto nos queda el sistema

\left\{\begin{matrix}(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2 \\ y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}\end{matrix}\right.

Reemplazamos r por su valor

\left\{\begin{matrix}(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \\ y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}\end{matrix}\right.

Teniendo valores numéricos este sistema es fácil de resolver, con letras se vuelve tedioso, la solución para x del sistema será el valor de x_3 y la imagen y será el valor de y_3, con esos dos valores ya queda definido z_3

Cuidado, existen dos soluciones posibles para z_3, la que calculemos, y su reflexión por el segmento, ambas son correctas.
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