Question

Dados dos vertice z1 y z2 de un triangulo equilátero en el plano complejo, hallar su tercer vertice

Answer 1

El vértice faltante $z_3$ se hallará sobre la mediatriz del segmento que une $z_1$ y $z_2$, con distancia a los vértices igual a la longitud del segmento, por lo tanto para complejos de la forma:

$z_1:\:(x_1,y_1)$
$z_2:\:(x_2,y_2)$

La mediatriz tendrá pendiente inversa y opuesta al segmento que une $z_1$ y $z_2$, por lo tanto, si el segmento tiene pendiente $m$, se sigue:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Luego la mediatriz tendrá pendiente $-\frac{1}{m}$

$-\frac{1}{m}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

Además sabemos que esta mediatriz pasará por el punto medio entre $z_1$ y $z_2$, es decir, pasará por $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ por lo que reemplazamos en la recta de la mediatriz

$\frac{y_1+y_2}{2}=-\frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)+b$

Multiplicamos a ambos lados por $2$ y distribuimos el menos adentro de la fracción de la pendiente

$y_1+y_2=2\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}(x_1+x_2)+b$

$y_1+y_2=2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}+b$

$b=y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}$

Por lo que la ecuación de la mediatriz queda:

$y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}$

Llamemos $r$ a la distancia entre $z_1$ y $z_2$, que se calcula:

$r=+\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Luego planteamos la ecuación de una circunferencia con centro $z_1$ y radio $r$

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

Sabemos que $z_3$ pertenece a la intersección entre esta circunferencia y la mediatriz, por lo tanto nos queda el sistema

$\left\{\begin{matrix}(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2 \\ y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}\end{matrix}\right.$

Reemplazamos $r$ por su valor

$\left\{\begin{matrix}(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \\ y=\frac{x_1-x_2}{y_2-y_1}x+y_1+y_2-2\frac{x_1^2-x_2^2}{y_2-y_1}\end{matrix}\right.$

Teniendo valores numéricos este sistema es fácil de resolver, con letras se vuelve tedioso, la solución para $x$ del sistema será el valor de $x_3$ y la imagen $y$ será el valor de $y_3$, con esos dos valores ya queda definido $z_3$

Cuidado, existen dos soluciones posibles para $z_3$, la que calculemos, y su reflexión por el segmento, ambas son correctas.