¿Cuántos números de tres cifras menores que 436 puede obtenerse con los dígitos 1,2,3,4,5,6 y 7, sabiendo que las cifras pueden replicarse?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
166
Explicación paso a paso:
Lo resolveré por el principio de la multiplicación, para que la mayoría lo entienda, pero sí estás, con el tema de análisis combinatorio: Sería una variación con repetición: VR(n,m)=m^n, por qué? hacemos las preguntas: ¿importa el orden? Claro que si, no es lo mismo decir 435=534, entonces importa en orden, ¿Entran todos los elementos? No, solo se usarán tres cifras, entonces es una variación (en permutaciones si se usan todos los términos y si fuera una permutación con repetición la fórmula sería otra PR(m,a,b)=m!/a!b!, siendo a y b los factores que se repiten). Pero por el principio de multiplicación se deducira sola la fórmula:
Principio de la multiplicación:
Datos:
formar números de 3 cifras (abc)
< 436
Entonces: Trabajaremos por partes como dijo algún asesinó serial: primero con los 400, luego 300,200,100 y sumamos al final todo:
Cifras (4ab):
< 436: es decir de 435 para abajo, usando los dígitos 1,2,3,4,5,6,7
* razonando, tiene que ser la primera cifras solo 4
* la segunda, puede ser 3,2 y 1
* la tercera, tendrás valores que cambiarán según la cifra del medio, ejemplo: si es 43b: b solo puede ser 5,4,3,2,1 para cumplir con el dato del problema, pero sí es 42b: b puede ser todos los dígitos 1,2,3,4,5,6,7, lo mismo para 41b
Entonces:
*43b: sería 1x1x5 =5 (1 por qué solo puede ser 4, solo puede tomar un valor, el otro 1 es por qué solo puede ser 3 y el 5 por qué solo puede tomar 5 valores: 5,4,3,2,1,).
*42b: 1x1x7=7 (la misma explicación)
*41b: 1x1x7 =7
sumando los tres: 5+7+7=19
Cifras (300) y por debajo(200 y 100):
Para este caso también consideramos los casos (2ab) y (1ab), que son los últimos casos de tres cifras que se pueden formar:
*tenemos la cifra (abc):
a: puede ser 3,2,1 ( es decir 300, 200 y 100)
b: puede ser todos: 1,2,3,4,5,6,7, por qué no importa que se repitan.
c: puede ser todos: 1,2,3,4,5,6,7 por qué no importa que se repitan.
Entonces:
(abc): 3x7x7 = 147 (el 3 es por qué puede tomar tres valores: 1,2,3 y los 7 por qué puede tomar los siete valores).
#Aquí se deduce sola la fórmula VR(m,n)=m^n =7^2x3=147#
Finalmente la respuesta:
19+147 = 166