Cuando una taza de café caliente se coloca sobre la mesa, su temperatura decrece. La razón, R, a la cual su temperatura cambia está regida por la Ley de Enfriamiento de Newton, la cual dice que la razón es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del café y del aire circundante. Pensemos en la razón R como una cantidad negativa ya que la temperatura del café está descendiendo. Si la temperatura del café es H°C, y la temperatura del cuarto es de 20°C, A) Escribir una fórmula para R en función de H. B) Trazar la gráfica de esa función.
Respuestas a la pregunta
Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Una taza de café caliente, inicialmente a 95 ıC, al estar en una habitación que tiene una temperatura constante de 21 ıC, se enfría hasta 80 ıC en 5 min. Determinar la temperatura del café
después de 10 min. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el café tenga una temperatura
de 50 ıC?
D: H La temperatura T .t/ del café, en ıC, después de t minutos, está dada por la solución del
PVI:
T
0
.t/ D kŒT .t/ 21; con T .0/ D 95 y además T .5/ D 80:
Resolvemos primero la ED.
dT
dt D k.T 21/ )
dT
T 21
D k dt )
Z
dT
T 21
D k
Z
dt )
) ln.T 21/ D kt C C ) T 21 D e
k tCC D e
k t e
C D e
k tC )
) T 21 D Cek t ) T .t/ D 21 C Cek t
:
Ésta es la solución general de la ED. Considerando las condiciones dadas:
T .0/ D 95 ) 21 C Ce0 D 95 ) C D 74 ) T .t/ D 21 C 74ek tI
T .5/ D 80 ) 21 C 74e5k D 80 ) e
5k D
80 21
74
D
59
74
) 5k D ln
59
74
)
) k D
1
5
ln
59
74
D 0:0453 ) T .t/ D 21 C 74e.0:0453/t
:
La anterior expresión es la solución del PVI. De este resultado podemos ver que la temperatura
del café después de 10 minutos es
T .10/ D 21 C 74e.0:0453/10 D 68 ) T .10/ D 68 ıC:
¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que T D 50 ıC?
T .t/ D 50 ) 21 C 74e.0:0453/t D 50 ) e
.0:0453/t D
50 21
74
D
29
74
)
) .0:0453/t D ln
29
74
) t D
ln 29 ln 74
0:0453
D 20:68 )
) t D 20:68 mi
Explicación paso a paso: