Question

¿Cuál es la suma de todas las fracciones a/b tales que a y b son enteros positivos, menores o iguales que 100 y a ≤ b? Por ejemplo: 3/4; 7/20; 41/41; etc.

Answer 1

$\begin{matrix} 1/1&1/2&1/3&1/4&\cdots &1/100\\ &2/2&2/3&2/4&\cdots &2/100\\ &&3/3&3/4&\cdots &3/100\\ &&&4/4&\cdots &4/100\\ &&&&\vdots\\ &&&&&100/100 \end{matrix}\\ \\ \\ \textit{Entonces la suma es la siguiente:}\\ \\ \sum=1+(\frac{1}{2}+\frac{2}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{n}{n})+\\ \\+(\frac{1}{100}+\frac{2}{100}+\cdots+\frac{100}{100})$

$\displaystyle \sum=\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}\\ \\ \\ \sum=\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{\frac{n(n+1)}{2}}{n}\\ \\ \\ \sum=\sum\limits_{n=1}^{100}\dfrac{n+1}{2}\\ \\ \\ \sum=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{100}(n+1)\\ \\ \\ \sum=\dfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{n=1}^{100}n+\sum\limits_{n=1}^{100}1\right)\\ \\ \\ \sum=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{100(101)}{2}+100\right)\\ \\ \\ \sum=\dfrac{100}{2}\left(\dfrac{101}{2}+1\right)\\ \\ \\ \sum=25\cdot 103\\ \\ \\ \boxed{\sum=2575}$