Question

¿cual es la ecuacion de la curcunferencia que es tangente a la recta L1= 9x+14 y =2 B(-6,4) y el centro de la curcunferencia esta sobre la recta L2=11x-18y=15?​

Answer 1

Respuesta:

$(x+15)^2+(y+10)^2=277$

Ver graficas en la imagen adjunta.

Explicación paso a paso:

Primero se debe calcular la recta tangente a la recta L1 y que pasa por el punto (-6,4)

L1:

9x+14=2

despejando y:

$y=\frac{ (2-9x)}{14}$

lo que es igual a:

$y=-\frac{9}{14}x+2/14$

la pendiente de esta recta es

m = -9/14

por tanto la pendiente de la recta tangente sera

$m_2=-1/m=-1/(-9/14)=14/9$

la recta tangente tiene la forma:

$y=\frac{14}{9}x+b$

Calculando b, se tiene:

$y=\frac{14}{9}x+40/3$       L3

ahora, la intersección de esta ultima recta (L3) y la recta L2 nos dará el centro de la circunferencia:

despejando y de la recta L2 se tiene:

$y=\frac{(11x-15)}{18}$

Igualando estas rectas se tiene:

$\frac{14}{9}x+40/3=\frac{(11x-15)}{18}$

$18*\frac{14}{9}x+18*40/3=11x-15$

$28x+240=11x-15$

$28x-11x=-15-240$

$17x=-255$

$x=-255/17$

$x=-15$  

Por tanto, al reemplazar este valor en la recta L2 se obtendra y:

$y=\frac{(11x-15)}{18}$

$y=\frac{(11(-15)-15)}{18}$    

$y=\frac{-180}{18}$  

$y=-10$  

El centro de la circunferencia se encuentra en el punto (-15,-10)

La ecuacion canonica de la circunferencia es:

$(x-h)^2+(y-k)^2=R2$

donde el centro esta localizado en (h,k)

como h=-15 y k=-10, reemplazamos:

$(x+15)^2+(y+10)^2=R2$

Para saber el radio, reemplazamos X y Y por el punto dado B(-6,4)

$(-6+15)^2+(4+10)^2=R^2$

$(9)^2+(14)^2=R^2$

$277=R^2$

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es:

$(x+15)^2+(y+10)^2=277$