Question

Cual es la diferencia de volumen entre la esfera y el cubo inscrito en esta?

Answer 1

Como no nos dan datos concretos, lo haremos en función de variables.

En este caso hay que notar que la diagonal del cubo es igual al diámetro de la esfera ya que el cubo está inscrito y por tanto sus vértices tocan en la superficie de la esfera.

El volumen de un cubo (V) en función de su diagonal (D) es una fórmula conocida y que fácilmente se deduce usando Pitágoras. La fórmula dice:

$V=\left(\dfrac{D}{\sqrt{3} }\right)^3$

Y el volumen de la esfera tiene también su fórmula conocida:

$V=\dfrac{4\pi r^3}{3}$

Pero para poder comparar hemos de conseguir que las variables sean iguales.

• Tenemos la diagonal "D" en la fórmula del cubo
• Tenemos el radio "r" en la fórmula de la esfera

La diagonal "D" es el diámetro de la esfera y podemos expresarla como "2r", (dos veces el radio, ok?)  

Pues lo hacemos y queda la siguiente fórmula:

$V=\left(\dfrac{2r}{\sqrt{3} }\right)^3=\dfrac{8r^3}{3\sqrt{3} }$

Ahora sí tenemos la misma variable "r" en las dos fórmulas así que vamos a restar el volumen del cubo del volumen de la esfera:

$Dif.\ vol\'umenes=\dfrac{4\pi r^3}{3}-\dfrac{8r^3}{3\sqrt{3} }=\dfrac{12\pi \sqrt{3}\ r^3-24r^3}{9\sqrt{3} } =\dfrac{12r^3\ (\pi \sqrt{3}-2) }{9\sqrt{3} }$

Quizá hay otro modo más efectivo para simplificar racionalizando la raíz de 3 pero ya no me queda tiempo.
El procedimiento sí te lo he explicado paso a paso.