Question

Desde cierto punto una persona contempla una estatua de 12 metros de altura situada sobre una columna. Los ángulos de elevación al capitel de la columna y al extremo superior de la estatua son de 34° y 50° respectivamente. Calcule la altura de la columna y la distancia del observador hasta la base de la columna. Haz un dibujo.

Answer 1

La altura h de la columna es de aproximadamente 15.65 metros

La distancia del observador hasta la la base de la columna es de aproximadamente 23.20 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El triángulo rectángulo BCD: el cual está conformado por el lado BC que equivale a la distancia desde determinado punto donde se ubica el observador hasta la base de la columna -en donde se ubica la estatua sobre esta, -de la cual no se conoce su dimensión y llamaremos a esta distancia “x”-, el lado BD que representa la altura “h” de la columna -de la que desconocemos su magnitud- ; teniendo finalmente el lado CD que es la proyección visual hasta el capitel de la columna visto con un ángulo de elevación de 34°

El triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC -el cual es el mismo que para el primer triángulo- siendo la distancia “x” desde el observador hasta la base de la columna, el lado AB que equivale a la altura “h” de la columna - de la cual desconocemos su valor- más la altura de la estatua situada sobre dicha columna - donde esta dimensión se conoce-.  Por tanto conocemos de manera parcial el valor de este cateto. Y el lado AC que es la proyección visual hasta el extremo superior de la estatua -que se sitúa sobre la columna- vista con un ángulo de elevación de 50°

Donde se pide hallar:

La altura h de la columna

La distancia x desde el observador hasta la base de la columna

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" es la distancia a hallar desde el punto donde se ubica el observador hasta la base de la columna

Y dónde la incógnita "h" será la altura de la columna

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la longitud desconocida “x" desde donde se ubica el observador hasta la base de la columna el cateto adyacente a los ángulos dados y en donde las diferentes alturas de la columna y de la estatua junto con la altura desconocida de la columna son los catetos opuestos a los respectivos ángulos de elevación

En donde la distancia "x" desde cierto punto donde se ubica la persona hasta la base de la columna es un valor que no cambiará independientemente de lo avistado por el observador

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto opuesto, los dos ángulos de elevación según dirija su mirada el observador a los dos puntos mencionados y nos piden hallar la altura de la columna y la distancia desde el observador hasta la base de la columna emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar las incógnitas

Hallamos la altura h - altura de la columna -

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (34^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x = \frac{h}{tan(34^o ) } } }$

$\boxed {\bold {tan (50^o) = \frac{h+12}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to x = \frac{h + 12}{tan (50^o) } } }$

Habiendo despejado x:

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de h -altura de la columna-

$\boxed {\bold { \frac{h}{tan(34^o ) } = \frac{h + 12}{tan (50^o) } } }$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(50^o)= (h + 12) \ . \ tan(34^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(50^o) = h\ . \ tan(34^o) +12 \ . \ tan(34^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ tan(50^o) - h \ . \ tan(34^o) =12 \ . \ tan(34^o) }}$

$\boxed { \bold {h \ . \ (tan(50^o) - \ tan(34^o) )=12\ . \ tan(34^o) }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 12\ . \ tan(34^o) }{ tan(50^o) - \ tan(34^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 12\ m \ . \ 0.674508516842 }{ 1.191753592594 -0.674508516842 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 8.094102202104 }{ 0.517245075752 } \ m }}$

$\boxed { \bold {h = 15.64845 \ metros }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold {h = 15.65 \ metros }}$

La altura h de la columna es de aproximadamente 15.65 metros

Hallamos la distancia "x" - desde el observador hasta la base de la columna-

Determinamos el valor de la distancia x, reemplazando el valor hallado de h en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior

$\boxed { \bold {x = \frac{h}{tan(34^o)} }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{15.65 \ m }{tan(34^o)} }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{15.65 }{tan(34^o)} \ m }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{15.65 }{0.674508516842 } \ m }}$

$\boxed { \bold {x = 23.20207 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {x = 23.20 \ metros }}$

El observador se encuentra aproximadamente a 23.20 metros de la base de la columna

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación