Question

¿Cuál es el área de una estrella de David regular de 6 puntas que está inscrita en un círculo de radio 1?

Answer 1

Respuesta:

Área de la estrella: $1.73u^{2}$

Explicación paso a paso:

Observa la imagen adjunta para guiarte en la explicación.

Se trata de un polígono estrellado de 6 puntas, compuesto por 12 triángulos equiláteros, 6 de los cuales forman un hexágono que está en la parte interna de la estrella (resaltado con línea roja) y 6 que se ubican uno al lado de otro en la periferia, de tal modo que uno de sus lados es también  uno de los lados del hexágono.

El ejercicio nos da el radio del círculo (1u), que va desde el centro de la estrella hasta tocar la circunferencia. Ese radio es una línea que está formada por la suma de la altura de dos triángulos, tal como puedes observar en la línea punteada azul de la imagen. Por tanto, la altura de un triángulo, es la mitad del radio, es decir 0.5u

Para el cálculo del área de la estrella, necesitamos saber el área de uno cualquiera de los 12 triángulos, para luego multiplicar dicha área por 12.

Para calcular el área aplicamos esta fórmula: $A=\frac{L^{2}*\sqrt{3}}{4}$

Esa fórmula es para calcular el área de un triángulo EQUILÁTERO cuando se conoce el lado.

No conocemos la medida del lado, pero sí conocemos la altura (h); entonces aplicamos la siguiente fórmula (de triángulos equiláteros)que nos permite despejar el lado:     $h=\frac{L*\sqrt{3}}{2}$

$L*\sqrt{3}=2h\\ \\L=\frac{2h}{\sqrt{3}}$   $L=\frac{2*0.5}{\sqrt{3}}$    

$L=0.5773u$

Aplicamos la fórmula del área:

$A=\frac{(0.5773u)^{2}*\sqrt{3}}{4}\\\\A=0.1443u^{2}$

Ahora multiplicamos esa área por los 12 triángulos de la estrella:

$Atotal=0.1443u^{2}*12\\ \\Aestrella=1.73u^{2}$