. Considere los puntos A y B de la figura adjunta. Si el punto (-4, y0, z0) pertenecea la recta que pasa por los puntos A y B, ¿cuáles son los valores de y0 y z0?
#PSU
Respuestas a la pregunta
Si el punto (-4,y0, z0) pertenece a la recta A y B los valores de y0 y z0 son: y0=-1 y z0=6.
Se debe buscar las relaciones vectoriales de la recta, para ello se recuerda lo siguiente:
Una forma de escribir la ecuación vectorial de una recta en el espacio que pasa por los puntos A(q, s, w) y B(m, n, p) es (x, y, z) = (m - q, n-s, p-w)λ + (m, n, p), con λ ∈ IR, donde el vector (m -q, n-s, p-w) se conoce como vector director.
Del gráfico de la figura se obtienen las coordenadas de A y B, es decir, A(2, 1, 4) y B(5, 2, 3). Luego, un vector director de la recta que pasa por estos puntos es (5 - 2, 2 - 1, 3 - 4) = (3, 1, -1).
Con los datos anteriores se puede escribir una ecuación vectorial de la recta como:
(x, y, z) = (3, 1, -1)λ+ (2, 1, 4), con λ en el conjunto de los número reales.
Así, (x, y, z) = (3, 1, -1)λ + (2, 1, 4)
(x, y, z) = (3λ + 2, λ+ 1, -λ + 4)
Como (-4, y 0 , z 0 ) pertenece a la recta, se tiene que:
(-4, y 0 , z 0 ) = (3λ + 2, λ + 1, -λ + 4),
por lo que se puede despejar λ de la siguiente manera:
-4 = 3λ + 2
-4-2=3λ
-6=3λ
λ=-2
Se reemplaza el valor λ en y0 y z0:
y0=λ+1=-2+1=-1
z0=4-(-2)=6
La respuesta correcta es A