Question

Considere g : R → R una función dos veces derivable tal que g'(x)≠0 para todo x ∈ R. Sea f : R → R función definida por:
f(x) = cos(πg(x))
Determine si f satisface la ecuación diferencial:
f''(x) − f'(x)g''(x)/g'(x)+(πg'(x))²f(x)=0

Gracias

Answer 1

La función f(g(x)) compuesta que se plantea satisface la ecuación diferencial planteada.

Explicación:

Para derivar una función compuesta se recurre a la regla de la cadena, un procedimiento por el cual tenemos:

$\frac{df[g(x)]}{dx}=\frac{df[g(x)]}{dg(x)}.\frac{dg(x)}{dx}$

Por lo que las derivadas que necesitamos son:

$f'(x)=-sen(\pi g(x)).\pi g'(x)\\\\f''(x)=-cos(\pi g(x))\pi ^2g'(x)^2-sen(\pi g(x))\pi g''(x)$

Ahora estas derivadas las reemplazamos en la ecuación diferencial:

$f''(x)-\frac{f'(x)g''(x)}{g'(x)}+(\pi g'(x))^2f(x)=0\\\\-cos(\pi g(x))\pi ^2g'(x)^2-sen(\pi g(x))\pi g''(x)-\frac{-sen(\pi g(x)).\pi g'(x)g''(x)}{g'(x)}+\\+(\pi g'(x))^2cos(\pi g(x))=0$

Simplificando queda:

$-cos(\pi g(x))\pi ^2g'(x)^2-sen(\pi g(x))\pi g''(x)+sen(\pi g(x)).\pi g''(x)+\\+(\pi g'(x))^2cos(\pi g(x))=0\\\\-sen(\pi g(x))\pi g''(x)+sen(\pi g(x)).\pi g''(x)=0$

Con lo cual concluimos que la función f(x) satisface la ecuación diferencial.