Question

Considerar Z=(2,−1,3)Z=(2,−1,3), P=(−1,0,−1)P=(−1,0,−1), Q=(1,−2,2)Q=(1,−2,2) y R=(0,1,−1)R=(0,1,−1).
La distancia de ZZ al plano que pasa por PP, QQ y RR es:

Answer 1

RESOLUCIÓN.

1) Se determina el plano formado por los puntos P, Q yR.

Se forman los vectores PQ y PR

PQ = Q - P = (1, -2, 2) - (-1, 0, -1) = (2, -2, 3)

PR = R - P = (0, 1, -1) - (-1, 0, -1) = (1, 1, 0)

Se realiza el producto vectorial entre los vectores PQ y PR para encontrar normal del plano buscado:

PQ x PR = N = (2, -2, 3) x (1, 1, 0)

N = (-3, 3, 4)

La ecuación del pleno tendría la siguiente forma:

-3X + 3Y + 4Z + D =0

Se sustituye el punto P para obtener el valor de D:

-3(-1) + 3(0) + 4(-1) + D = 0

D = 1

Finalmente la ecuación del plano formado por los puntos P, Q y R es:

-3X + 3Y + 4Z + 1 = 0

2) Determinar la distancia entre el punto Z y el plano.

La ecuación de distancia entre un punto y un plano es:

D = |A*Zx + B*Zy + C*Zz + D| / |N|

A = -3

B = 3

C = 4

D = 1

Zx = 2

Zy = -1

Zz = 3

|N| = √(-3)^2 + (3)^2 + (4)^2 = √34

Sustituyendo se tiene que:

D = |-3(2) + 3(-1) + 4(3) + 1| / √34

D = 0,69

La distancia entre el punto Z y el plano formado por los puntos P, Q, R es de 0,69 unidades.