Question

con una cuerda de 1 m de largo, construir, cortando la cuerda, dos figuras: un cuadrado y una circunferencia, de tal manera que la suma de sus áreas sean mínimas

Answer 1

Una parte de la cuerda mide x, lo utilizamos para el cuadrado, y la otra parte mide 1 - x que lo utilizaremos para la circunferencia

$A_\square(x)=\dfrac{x^2}{16}\\ \\ \\A_{\circ}(x)=\dfrac{(1-x)^2}{4\pi}\\ \\ \\S(x)=\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(1-x)^2}{4\pi}\\ \\ \\\text{Con ayuda de la primera derivada hallemos los puntos cr\'iticos}\\ \\S'(x)=\dfrac{x}{8}-\dfrac{1-x}{2\pi}=0\\ \\(2\pi+8)x-8=0\\ \\x=\dfrac{4}{\pi+4}\\ \\ \\\text{Con la segunda derivada veremos si este punto es alg\'un extremo}:\\\\S''(x)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2\pi}>0\\\\\\\text{Esto indica que la gr\'afica de S siempre se abre hacia arriba}$

Por ende los trozos miden

Para el cuadrado: $\dfrac{4}{4+\pi}$

Para la circunferencia: $\dfrac{\pi}{4+\pi}$