Question

con un cartón de 6x4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo

Answer 1

como? no das numeros

Answer 2

La  dimensiones de la caja a construir para obtener un volumen máximo son:

Largo = 4.44 m

Ancho= 2.44 m

Alto = 0.78 m

Explicación paso a paso:

Datos;

cartón 6x4

Pariendo de la imagen adjunta;

largo: 6 - 2x

ancho: 4 - 2x

El volumen se una figura como la caja:

v = lago × ancho × alto

siendo;

alto: x

Sustituir;

v(x) = (6-2x)(4-2x)(x)

Aplicar distributiva;

v(x) = (24-12x-8x+4x²)(x)

v(x) = 24x- 20x² +4x³

volumen máximo;

Aplicar derivada;

v'(x) = d/dx(24x- 20x² +4x³)

d/dx(24x) = 24

d/dx(20x²) = 40x

d/dx(4x³) = 12x²

sustituir;

v'(x) = 24 - 40x + 12x²

Igualar a cero;

12x²- 40x + 24 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sustituir;

$x_{1}=\frac{40+\sqrt{40^{2}-4(12)(24)}}{2(12)}$

$x_{1}=\frac{40+\sqrt{448}}{24}$

$x_{1}=\frac{5+\sqrt{7}}{3}$

x₁ = 2.58

$x_{2}=\frac{5-\sqrt{7}}{3}$

x₂= 0.78

Aplicar segunda derivada;

v''(x) = d/dx(12x²- 40x + 24)

v''(x) = 24x - 40

Sustituir x₁;

v''(x) = 24(2.58)-40

v''(x) = 21.92

Sustituir x₂;

v''(x) = 24(0.78)-40

v''(x) = -21.28

Por lo tanto x es;

x₂= 0.78

Volumen max;

v = 24(0.78)- 20(0.78)² +4(0.78)³

v = 8.45 m³

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