• Con los datos dados en el diagrama de Venn Euler escogido, plantee con sus propias palabras, un ejercicio típico de aplicación de teoría de conjuntos, formulando los interrogantes correspondientes a las operaciones entre conjuntos dadas a continuación y dar las respectivas respuestas:
• Ac ∩ B
• (A −B ) ∪ ( B− A)
• ( B∪ C) c
• A ∪ B ∪ C
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Respuestas a la pregunta
Con los datos del Diagrama de Venn Euler dado, las operaciones entre conjuntos son las siguientes:
1) Ac ∩ B = {9,16}
2) (A −B ) ∪ (B− A) = { 0,8,9,16}
3) (B∪ C) c = {7,8}
4) A ∪ B ∪ C = { 0,2,8,9,12,16,22}
Lo primero que debemos identificar es cual es el conjunto universal (U), que es el conjunto que contiene todos los elementos. En este caso, el conjunto universal es el conjunto:
U={0,2,7,8,9,12,16,22}
1) Ac ∩ B
Ac es el conjunto denominado complemento del conjunto A, que representa todos los elementos del conjunto universal (U) menos los elementos del conjunto A:
El conjunto A es:
A={ 0,2,8,12}
Por lo tanto Ac será:
Ac=U - A
Ac={0,2,7,8,9,12,16,22} - { 0,2,8,12}
Ac={7,9,16,22}
El conjunto B es:
B={2,9,12,16}
Y el conjunto intersección de Ac con B, el el conjunto formado por los elementos comunes a ambos conjuntos; es decir, los elementos que pertenecen a los dos conjuntos Ac y B, por lo tanto;
Ac ∩ B = {7,9,16,22} ∩ {2,9,12,16}
Ac ∩ B = {9,16}
2) (A −B ) ∪ ( B− A)
A={ 0,2,8,12}
B={2,9,12,16}
Primero hallamos los conjuntos indicados entre paréntesis, que implica restar los elementos del segundo conjunto al primer conjunto.
A −B = { 0,2,8,12} - {2,9,12,16}
Debemos restarle al conjunto A los elementos que tenga del conjunto B:
A −B = { 0,8}
B - A = {2,9,12,16} - { 0,2,8,12}
Debemos restarle al conjunto B los elementos que tenga del conjunto A:
B - A = {9,16}
Y la unión de los dos conjuntos es la suma de los elementos de los dos conjunto, pero sin repetir elementos; es decir, los elementos comunes se toman una sola vez:
(A −B ) ∪ ( B− A) = { 0,8} ∪ {9,16}
(A −B ) ∪ ( B− A) = { 0,8,9,16}
3) ( B∪ C) c
Primero hallamos lo indicado entre paréntesis, que es la unión de los conjuntos B y C:
B= {2,9,12,16}
C = { 0,2,16,22}
B U C = {2,9,12,16} U { 0,2,16,22}
B U C = {0,2,9,12,16,22}
( B ∪ C)c es el complemento del conjunto B U C;
( B ∪ C)c = U - (B U C)
U={0,2,7,8,9,12,16,22}
(B ∪ C)c = {0,2,7,8,9,12,16,22} - {0,2,9,12,16,22}
(B ∪ C)c = {7,8}
4) A ∪ B ∪ C
Este conjunto es la unión de los elementos de los tres conjuntos (sin repetir elementos:
A = { 0,2,8,12}
B= {2,9,12,16}
C = { 0,2,16,22}
A ∪ B ∪ C = { 0,2,8,12} U {2,9,12,16} U { 0,2,16,22}
A ∪ B ∪ C = { 0,2,8,9,12,16,22}