¿Cómo se multiplican dos números complejos?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Un número complejo es cualquier número que puede escribirse como \greenD{a}+\blueD{b}ia+bistart color greenD, a, end color greenD, plus, start color blueD, b, end color blueD, i, donde iii es la unidad imaginaria y \greenD{a}astart color greenD, a, end color greenD y \blueD{b}bstart color blueD, b, end color blueD son números reales.
Al multiplicar números complejos conviene recordar que las propiedades que usamos al realizar operaciones aritméticas con números reales funcionan de manera similar para números complejos.
A veces ayuda pensar en iii como una variable, como xxx. Así, con unos pocos ajustes al final, podemos multiplicar tal como esperaríamos. Veamos esto con más cuidado mediante algunos ejemplos.
Multiplicar un número real por un número complejo
Ejemplo
Multiplica -4 (13+5i)−4(13+5i)minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. Escribe el resultado en la forma a+bia+bia, plus, b, i.
Solución
Si tu instinto te dice que distribuyas -4−4minus, 4, ¡tu instinto tiene la razón! ¡Hagamos eso!
\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
−4(13+5i)
=−4(13)+(−4)(5i)
=−52−20i
¡Y eso es todo! Utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar un número real por uno complejo. Intentemos algo un poco más complicado.
Multiplicar un número imaginario puro por un número complejo
Ejemplo
Multiplica 2i (3-8i)2i(3−8i)2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. Escribe el resultado en la forma a+bia+bia, plus, b, i.
Solución
Nuevamente empecemos por distribuir 2i2i2, i a cada término dentro del paréntesis.
\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
2i(3−8i)
=2i(3)−2i(8i)
=6i−16i
2
La respuesta todavía no está en la forma a+bia+bia, plus, b, i, pues contiene i^2i
2
i, start superscript, 2, end superscript.
Sin embargo, sabemos que \goldD{i^2=-1}i
2
=−1start color goldD, i, start superscript, 2, end superscript, equals, minus, 1, end color goldD. Sustituyamos para ver que obtenemos.
\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
2i(3−8i)
=6i−16i
2
=6i−16(−1)
=6i+16
Con la propiedad conmutativa podemos escribir la respuesta como 16+6i16+6i16, plus, 6, i, y así tenemos que 2i (3-8i)=16+6i2i(3−8i)=16+6i2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.
Explicación paso a paso: