Question

Como se haría la integral ctg^2(x)*csc(x) dx

Answer 1

$\int \cot ^2\left(x\right)\csc \left(x\right)dx$
Se aplica la integración por sutitución:
$=\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{4u^3}du$
Sacamos la constante:
$=\frac{1}{4}\int \frac{\left(u^2-1\right)^2}{u^3}du$
Expandimos:
$=\frac{1}{4}\int \left(\frac{1}{u^3}+u-\frac{2}{u}\right)du$
Aplicamos la regla de la suma:
$=\frac{1}{4}\left(\int \frac{1}{u^3}du+\int \:udu-\int \frac{2}{u}du\right)$
Tomamos:
$\int \frac{1}{u^3}du$
Aplicamos la regla de la suma y simplificamos:
$=-\frac{1}{2u^2}$
Tomamos:
$\int \:udu$
Aplicamos la regla de la potencia y simplificamos:
$=\frac{u^2}{2}$
Tomamos:
$\int \frac{2}{u}du$
Sacamos la constante y aplicamos la regla de la integración:
$=2\ln \left|u\right|$
Juntamos todo:
$=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2u^2}+\frac{u^2}{2}-2\ln \left|u\right|\right)$
Sutituimos en u:
$=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)}+\frac{\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)}{2}-2\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|\right)$
Simplificamos y agregamos un constante:
$=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\tan ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}\cot ^2\left(\frac{x}{2}\right)-2\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|\right)+C$