Question

Cómo resolver una ecuación de tercer grado​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Trabajala descomponiendo el polinomio de tercer grado para encontrar sus raices, las cuales son sus soluciones.

Answer 2

Respuesta:

Formula general de la ecuación cúbica o de tercer grado:

Para resolver una ecuación de la forma general:

$Ax {}^{3} + Bx {}^{2} + Cx + D = 0$

Se divide cada término entre ''a'', quedando un polinomio de la forma:

$x {}^{3} + bx {}^{2} + cx + d = 0$

Haciendo el siguiente cambio de variable:

$x = z - \frac{b}{3}$

Después de hacer algunos cálculos queda una ecuación sin término cuadrático, de la siguiente forma:

$z {}^{3} + pz + q = 0$

Donde:

$p = \frac{3c - b {}^{2} }{3}$

$q = \frac{2b {}^{3} }{27} - \frac{bc}{3} + d$

La ecuación cubica sin término cuadrático se puede resolver directamente mediante la fórmula de Cardano, la cual es la siguiente:

$z_{1}= \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{( \frac{q}{2}) {}^{2} + ( \frac{p}{3} ) {}^{3} } } + \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} - \sqrt{( \frac{q}{2}) {}^{2} + ( \frac{p}{3}) {}^{3} } }$

Para abreviar, digamos que:

$z _{1}= u + v$

Donde U & V son los dos términos de la fórmula de Cardano, anteriormente mencionada.

Nótese que la única diferencia entre U & V, son los signos de la raíz cuadrada, los cuales son opuestos.

Recuérdese que las ecuación cubicas tiene 3 soluciones complejas.

Las otras dos soluciones se obtienen de la siguiente manera:

$z_{2} = - \frac{u + v}{2} + \frac{i \sqrt{3} }{2}(u - v)$

$z _{3} = - \frac{u + v}{2} - \frac{i \sqrt{3} }{2} (u - v)$

Recuerda revertir el cambio de variable.

Discriminante:

Si:

$( \frac{q}{2} ) {}^{2} + ( \frac{p}{3} ) {}^{3} > 0$

Hay 1 solucion real y dos complejas.

Si:

$( \frac{q}{2} ) {}^{2} + ( \frac{p}{3} ) {}^{3} = 0$

Hay 3 soluciones reales, y al menos 2 son iguales.

Si:

$( \frac{q}{2} ) {}^{2} + ( \frac{p}{3}) {}^{3} < 0$

Hay 3 soluciones reales distintas entre sí.

Ejemplo:

$x {}^{3} + 2x + 3 = 0$

Esta ecuación no tiene término cuadrático, por lo que se puede aplicar directamente la fórmula de Cardano:

$x_{1}= \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{( \frac{q}{2}) {}^{2} + ( \frac{p}{3}) {}^{3} } } + \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} - \sqrt{( \frac{q}{2}) {}^{2} + ( \frac{p}{3}) {}^{3} } }$

Donde ''q'' es el término independiente (3).

Y ''p'' es el coeficiente del término lineal (2).

Aplicamos la fórmula, sustituyendo las variables por los valores del problema:

$x_{1} = \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} + \sqrt{( \frac{3}{2}) {}^{2} + ( \frac{2}{3} ) {}^{3} } } + \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} - \sqrt{( \frac{3}{2} ) {}^{2} + ( \frac{2}{3}) {}^{3} } }$

$x_{1} = \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} + \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{8}{27} } } + \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} - \sqrt{ \frac{9}{4} + \frac{8}{27} } }$

$x _{1} = \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} + \sqrt{ \frac{243 + 32}{108} } } + \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} - \sqrt{ \frac{243 + 32}{108} } }$

$x_{1} = \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} + \frac{ \sqrt{275} }{ \sqrt{108} } } + \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{275} }{ \sqrt{108} } }$

$x _{1} = \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} + \frac{5 \sqrt{33} }{18} } + \sqrt[3]{ - \frac{3}{2} - \frac{5 \sqrt{33} }{18} }$

$x _{1} = \sqrt[3]{ \frac{ - 27 + 5 \sqrt{33} }{18} } + \sqrt[3]{ \frac{ - 27 - 5 \sqrt{33} }{18} }$

$x _{1} = \frac{ \sqrt[3]{ - 27 + 5 \sqrt{33} } + \sqrt[3]{ - 27 - 5 \sqrt{33} } }{ \sqrt[3]{18} }$

Racionalizamos:

$x _{1} = \frac{ \sqrt[3]{ - 324 + 60 \sqrt{33} } + \sqrt[3]{ - 324 - 60 \sqrt{33} } }{6}$

Allí aparentemente (y la mayoría de veces es así) no se puede simplificar más, pero sí:

$- 324 + 60 \sqrt{33} = (a + b \sqrt{33} ) {}^{3}$

(A & B son racionales)

Se puede simplificar aún más.

No hay una formula metódica para encontrar A & B (ya que requeriría la resolución de otra ecuación cúbica), sin embargo, los podemos encontrar por tanteos (aunque la mayoría de veces son irracionales, y así ya no nos servirían, ya que se perdería la exactitud).

Tanteando con diferentes valores racionales para A & B, encontré que:

$- 324 + 60 \sqrt{33} = ( - 3 + 1 \sqrt{33} ) {}^{3}$

Lo que, a su vez significa que:

$- 324 - 60 \sqrt{33} = ( - 3 - 1 \sqrt{33} ) {}^{3}$

Sustituimos los radicandos por sus equivalencias:

$x_{1} = \frac{ \sqrt[3]{( - 3 + \sqrt{33}) {}^{3} } + \sqrt[3]{( - 3 - \sqrt{33}) {}^{3} } }{6}$

Eliminamos las raíces cubicas con las potencias cubicas:

$x_{1} = \frac{ - 3 + \sqrt{33} - 3 - \sqrt{33} }{6}$

Antes de seguir simplificando, es importante identificar quien es ''U'' y quien es ''V'' (nos servirá para encontrar las otras 2 soluciones):

$u = \frac{ - 3 + \sqrt{33} }{6}$

$v = \frac{ - 3 - \sqrt{33} }{6}$

Ahora seguimos con la simplificación:

Eliminamos los opuestos:

$x_{1} = \frac{ - 3 - 3}{6}$

$x_{1} = - 1$

Las otras dos soluciones son (te haría el proceso, pero Brainly no me deja publicar la respuesta por ser muy larga):

$x_{2} = \frac{ 1 + i\sqrt{11} }{2}$

$x_{3} = \frac{ 1 - i\sqrt{11} }{2}$

Espero hallas entendido, sino pregúntame, y perdón si es demasiado tarde para responder.

Feliz día =)