Como realizo una matriz inversa
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Definición de la matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad.
A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A= I
Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos: El método de Gauss y el método por cálculo de determinantes.
Propiedades de la matriz inversa
1 (A\cdot B)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}
2 (A^{-1})^{-1}=A
3 (k\cdot A)^{-1}=k^{-1}A^{-1}
4 (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}
Cálculo por determinantes
El cálculo de una matriz inversa por determinantes se basa en el siguiente resultado
\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot (A^{*})^t
donde
\begin{align*} A^{-1}\hspace{1cm} & \text{Matriz inversa}\\ |A| \hspace{1cm}& \text{Determinante de la matriz}\\ A^{*} \hspace{1cm} &\text{Matriz adjunta}\\ (A^{*})^t \hspace{1cm} &\text{Matriz traspuesta de la adjunta} \end{align*}
Para entender el procedimiento, comenzaremos con un ejemplo:
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{pmatrix}
1 Calculamos el determinante de la matriz.
En el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
|A|=\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3& 0 & 0\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3
2 Hallamos la matriz adjunta
Es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.
A^{*}=\begin{pmatrix} \ \ \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} & \ \ \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 5 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1& 1 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 5 &1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 &0 \\ 5 &1 \end{vmatrix}\\ \ \ \begin{vmatrix} 0&1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2&1 \\ 3&0 \end{vmatrix} &\ \ \begin{vmatrix} 2& 0\\ 3 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &-3 &3 \\ 1 &-3 &-2 \\ 0& 3& 0
3 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
(A^*)^t=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}
4 La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -3 & -3 & 3\\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -\frac{2}{3} & 0 \end{pmatrix}
Explicación paso a paso:
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