Question

como puedo encontrar la recta tangente y normal si y=3^x y x=2

Answer 1

Bueno, como recordarás, la derivada de un curva en cualquier punto es la pendiente de la recta tangente en un punto dado...entonces derivemos,

$f(x)=3^{x}$

aplicamos la derivada, respectiva, sabemos que,

 $f'(x)=\displaystyle\frac{dy}{dx}=m=3^{x}\ln(3)$

y nos pide la pendiente "m", en x=2, entonces

$m=3^{2}\ln(3)=9\ln(2)$

y esa sería la pendiente...

entonces, la ecuación de la recta dado un punto  una pendient es,

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=9\ln(2)(x-2)\\y-9=9\ln(2)x-18\ln(2)\\\\9\ln(2)x-y-18\ln(2)+9=0$

está horrible...pero bueno...ahora si quieres una recta normal a ésta...es decir buscamos una recta perpendicular, entonces,

sabemos que si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes tiene que ser -1, entonces

$m_{1}m_{2}=-1\\m_{2}=-9\ln(2)$

ya tenemos la nueva pendiente, ahora armamos la ecuacón de la recta, dado un punto y su pendiente,

$y-y_{1}=m(x-x_{1})\\y-f(2)=-9\ln(2)(x-2)\\y-9=-9\ln(2)x+18\ln(2)\\\\9\ln(2)x+y-18\ln(2)-9=0$

igualmente de feo..pero bueno...y eso sería todo