Question

Carlos es un niño que le gusta coleccionar bolitas el primer día compra 3 bolitas al segundo día compra 6 bolitas y al tercer día 12 bolitas y cada día que pasa se va a duplicar cuántos boletos bolitas comprar al décimo primer día Cuántas bolitas en total habrá originado hasta el día 11​

Answer 1

Tenemos una progresión geométrica (PG)  ya que cada nuevo día duplica las bolitas del día anterior, es decir, los términos de la progresión aumentan su valor duplicando el término anterior.

De ahí se deduce que la razón es  r=2,  o sea, el nº por el cual se multiplica el valor de cada término para obtener el siguiente.

La fórmula general de las PG dice:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Nos pide saber cuántas bolitas compró el decimoprimer día, es decir, nos pide el valor del término que ocupa el lugar 11º en la PG que representamos como  a₁₁ y donde el nº de términos serán justamente los once, así que  n=11, y  el valor del primer término son las bolitas que compró el primer día ... a₁=3

Sustituyo datos conocidos --los he remarcado en negrita-- en la fórmula anterior:

a₁₁ = 3 × 2¹¹⁻¹

a₁₁ = 3 × 2¹⁰

a₁₁ = 3 × 1024

a₁₁ = 3.072 bolitas compró el 11º día.

Para la otra pregunta tenemos que sumar las bolitas que fue comprando durante esos 11 días, o sea que tenemos que usar la fórmula de SUMA DE TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (Sₙ) y dice:

$S_n=a_1\times \dfrac{r^n\ -1}{r-1}$

Sustituyo los datos conocidos:

$S_{11}=3\times \dfrac{2^{11}\ -1}{2-1} \\ \\ \\ S_{11}=\dfrac{3\times2048\ -3}{1} \\ \\ \\ S_{11} =6.144-3\\ \\ \\ S_{11} =6.141$

El 11º día habrá coleccionado un total de 6.141 bolitas