Question

Carlita prepara de regalo para el regalo de su hermanita, una creativa caja en forma de pirámide de base hexagonal regular. Si su base tiene un perímetro de 108 cm y su arista lateral mide 19,5 cm, ¿cuál será su área total?

Answer 1

ÁREA  TOTAL  DE  PIRÁMIDE  HEXAGONAL  REGULAR

Adjunto dibujo para más claridad del procedimiento.

• He remarcado en rojo la apotema del hexágono que forma la base
• He remarcado en azul la apotema de la pirámide que es la altura de uno de los triángulos isósceles que forman las caras laterales.

Al darnos el dato de perímetro de la base, lo primero es calcular el lado dividiendo entre 6 lados que tiene el hexágono:

108 ÷ 6 = 18 cm. mide el lado de la base hexagonal

Con ese dato lo que se hace es usarlo para calcular tanto el área del hexágono de la base como de uno de los isósceles que forman las caras laterales y para ello se recurre al teorema de Pitágoras.

Para el caso del hexágono, sabemos que los lados son iguales que el radio de la circunferencia circunscrita al mismo de tal modo que al trazar radios a dos vértices consecutivos se nos forma un triángulo equilátero al cual dibujamos su altura que es la apotema de la base (en rojo) dividiendo el equilátero en dos triángulos rectángulos iguales.

• Dicha altura (en rojo) es el cateto mayor (C) de uno de esos triángulos
• La mitad del lado es el cateto menor (c)
• El radio es la hipotenusa (H)

Se aplica Pitágoras:

$C=\sqrt{H^2-c^2}=\sqrt{18^2-9^2}=\sqrt{243}= 15,6\ cm.\ (aprox.\ por\ exceso)$

Seguidamente toca usar la fórmula del área para cualquier polígono regular:

A = Perímetro × Apotema / 2 = 108 × 15,6 / 2 = 841,7 cm²

Reservo esta solución parcial y procedo a calcular el área lateral que será el área de uno de los isósceles multiplicada por 6 triángulos que forman la pirámide.

Para ello se vuelve a usar Pitágoras según el dibujo con los datos:

• La altura (en azul) es el cateto mayor (C) de uno de esos triángulos
• La mitad del lado de la base es el cateto menor (c)
• La arista (19,5) es la hipotenusa (H)

$C=\sqrt{H^2-c^2}=\sqrt{19,5^2-9^2}=\sqrt{299,25}= 17,3\ cm.\ (aprox.\ por\ exceso)$

Se usa la fórmula para calcular el área de cualquier triángulo.

Área  =  Base × Altura / 2  =  9 × 17,3 / 2  =  77,84 cm²

Multiplico por los 6 triángulos:

77,84 × 6 = 467 cm² de área lateral

Finalmente sumamos área de la base más área lateral:

Área total = 841,7 + 467 = 1.308,7 cm² es la respuesta.

Saludos.