Question

Cancha de basquetbol: Luz María, diseñadora gráfica, elaboro el diseño de una cancha de basquetbol en un
sistema de coordenadas rectangulares, la circunferencia central de la cancha pasa por los puntos A (-1,1), B (3,3) y
C (3,0). Determine la ecuación general y ordinaria que describe esta circunferencia, cual es la coordenada del
centro y la longitud del radio. Trazar el plano cartesiano y sobre el la circunferencia señalando los puntos A, B, C.

Answer 1

La ecuación de la circunferencia es $(x+\frac{5}{4})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{85}{16}$, la ecuación general es $16x^2+16y^2+40x-48y-24=0$. El centro está en el punto $(\frac{5}{4},\frac{3}{2})$ y el radio es $\sqrt{\frac{85}{16}}$.

Coordenadas del centro de la circunferencia

Si tenemos 3 puntos podemos hallar la ecuación de la circunferencia que definen aplicando la ecuación canónica de una circunferencia:

$A(-1,1)=>(-1-x_0)^2+(1-y_0)^2=r^2\\B(3,3)=>(3-x_0)^2+(3-y_0)^2=r^2\\C(3,0)=>(3-x_0)^2+(0-y_0)^2=r^2\\\\1+2x_0+x_0^2+1-2y_0+y_0^2=r^2\\9-6x_0+x_0^2+9-6y_0+y_0^2=r^2\\9-6x_0+x_0^2+y_0^2=r^2$

Restando miembro a miembro la segunda y la tercera ecuación tenemos:

$9-6x_0+x_0^2+9-6y_0+y_0^2=r^2\\9-6x_0+x_0^2+y_0^2=r^2\\---------------\\9-6y_0=0\\\\y_0=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Y restando miembro a miembro la primera y la segunda ecuación queda:

$1+2x_0+x_0^2+1-2y_0+y_0^2=r^2\\9-6x_0+x_0^2+9-6y_0+y_0^2=r^2\\---------------\\-8+8x_0-8+4y_0=0\\\\y_0=\frac{3}{2}=>-16+8x_0+4\frac{3}{2}=0\\\\-16+8x_0+6=0\\\\-10+8x_0=0\\\\x_0=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

Radio de la circunferencia

Reemplazando cualquiera de los puntos en la ecuación canónica de la circunferencia, se puede obtener el radio:

$(x-\frac{5}{4})^2+(y-\frac{3}{2})^2=r^2\\\\(3-\frac{5}{4})^2+(0-\frac{3}{2})^2=r^2\\\\(\frac{7}{4})^2+(\frac{3}{2})^2=r^2\\\\\frac{49}{16}+\frac{9}{4}=r^2\\\\r^2=\frac{85}{16}$

Entonces, la ecuación de la circunferencia queda:

$(x+\frac{5}{4})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{85}{16}$

La ecuación general es:

$x^2+2\frac{5}{4}y+\frac{25}{16}+y^2-2\frac{3}{2}y+\frac{9}{4}=\frac{85}{16}\\\\x^2+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}+y^2-3}y+\frac{9}{4}=\frac{85}{16}\\\\16x^2+40x+25+16y^2-48y+36=85\\\\16x^2+40x+25+16y^2-48y+36-85=0\\\\16x^2+16y^2+40x-48y-24=0$

En la imagen adjunta se ve el gráfico de la circunferencia con los puntos A, B y C.