Question

Calcule la derivada de f(x) = x² + 1 usando la definición de límites y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta 2x + y = 0. ​

Answer 1

Recordemos que la derivada de una función f por definición se denota como:

                                        $\boxed{\sf{f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Desde un punto de vista geométrica la derivada es la pendiente de la recta tangente a f.

Entonces en el problema

                               $\begin{array}{c}\sf{ f(x) = x^2 + 1}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{[(x+h)^2+1]-[(x)^2+1]}{h}}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{(x^2+h^2+2xh+1)-(x^2+1)}{h}}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{h^2+2xh}{h}}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{h(h+2x)}{h}}\\\\\sf{f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}(h+2x)}\\\\\sf{f'(x)=0+2x}\\\\\boxed{\boldsymbol{\sf{f'(x)=2x}}}\end{array}$

Hallemos la ecuación de la recta tangente.

Determinemos la pendiente de la recta  2x + y = 0

                                                      $\sf{2x+y=0}\\\\\sf{y=\underset{\underset{Pendiente}{\downarrow}}{-2}x}$

La pendiente de la recta tangente a f y la pendiente de 2x+y=0 serán iguales, por lo que:

                                $\begin{array}{c}\sf{f'(x)=-2}\\\\\sf{2x=-2}\\\\\boxed{\sf{x=-1}}\end{array}\qquad\Rightarrow\qquad\begin{array}{c}\sf{f(x)=x^2+1}\\\\\sf{f(x)=(-1)^2+1}\\\\\boxed{\sf{f(x)=2}}\end{array}$

Ya tenemos la pendiente(-2) y un punto de paso (x,f(x)) = (-1,2), la ecuación de la recta tangente será:

                                          $\begin{array}{c}\sf{(y-y_o)=m(x-x_o)}\\\\\sf{(y-2)=(-2)(x-(-1))}\\\\\sf{y-2=(-2)(x+1)}\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\sf{y=-2x}}}}\end{array}$

                                            $\boxed{\sf{{R}}\quad\raisebox{10pt}{ \sf{\red{O}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{\red{O}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{{G}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{{G}} }\quad\raisebox{15pt}{ \sf{\red{H}} }\!\!\!\!\raisebox{-15pt}{ \sf{\red{H}} }\quad\raisebox{10pt}{ \sf{{E}} }\!\!\!\!\raisebox{-10pt}{ \sf{{E}} }\quad\sf{\red{R}}}\hspace{-64.5pt}\rule{10pt}{.2ex}\:\rule{3pt}{1ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{2ex}\rule{3pt}{1.5ex}\rule{3pt}{1ex}\:\rule{10pt}{.2ex}$