Question

Calcular el volumen de una caja abierta con capacidad máxima, que puede
construirse con una hoja rectangular de cartón de 2 metros de ancho por 4 metros
de largo.
Nota: Considera que para construir la caja es necesario recortar un cuadrado en
cada esquina y doblar los bordes. El lado del cuadrado a recortar vale x. Realiza el
bosquejo.

Answer 1

El volumen máximo de una caja sin tapa que puede construirse con una hoja rectangular de cartón es:

1.22 m³

¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?

Un prisma es un poliedro de seis caras incluidas la base y tapa.

Es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × a

Siendo;

• Ab: área de la base (largo × ancho)
• a: altura

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿Cuál es el volumen de una caja abierta con capacidad máxima, que puede construirse con una hoja rectangular de cartón de 2 metros de ancho por 4 metros de largo?

Siendo las dimensiones de la caja:

• largo = 4 - 2x
• ancho = 2 - 2x
• altura = x

Sustituir en V;

V = (4 - 2x)(2 - 2x)(x)

V = (8 - 8x - 4x - 4x²)(x)

V(x) = 8x - 12x² - 4x³

Aplicar primera derivada;

V'(x) = d/dx (8x - 12x² - 4x³)

V'(x) = 8 - 24x - 12x²

Aplicar segunda derivada;

V''(x) = d/dx (8 - 24x - 12x²)

V''(x) = -24 - 24x  ⇒ Máximo relativo

Igualar a cero V'(x);

12x² + 24x - 8 = 0

Aplicar la resolvente;

$x_{1,2}=\frac{-24\pm\sqrt{(24)^{2}-4(12)(-8)}}{2(12)}\\\\x_{1,2}=\frac{-24\pm\sqrt{960}}{24}\\\\x_{1,2}=\frac{-24\pm8\sqrt{15}}{24}$

x₁ = 0.29 m

x₂ = -2.29

Sustituir;

Vmax = 8(0.29) - 12(0.29)² - 4(0.29)³

Vmax = 1.22 m³

Puedes ver más sobre el cálculo del volumen y optimización aquí:

https://brainly.lat/tarea/4139903

https://brainly.lat/tarea/13504125

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