Question

En una hacienda se planea construir dos corrales con 300m de cerca, ambos de
iguales dimensiones y que sean adyacentes; así mismo, se planea que ambos
colinden con una barda. Calcular las dimensiones que maximicen el área.

Answer 1

Las dimensiones necesarias de cada uno de los dos corrales para que el área encerrada sea máxima son:  75  metros en los lados horizontales y 50 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.

¿Podemos aplicar la derivación para resolver el problema?

Si, el problema se puede resolver aplicando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

La función objetivo es el área de los corrales. Si llamamos    y     la longitud del lado vertical y de la división de los corrales y    x    la longitud del lado horizontal de cada corral paralelo a la barda (ver figura anexa); la función objetivo viene dada por:

Área  =  A  =  2 x y  m²

Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud total de cerca (ecuación auxiliar) para despejar   y   en función de   x:

$\bold{2x~+~3y~=~300\qquad \Rightarrow\qquad y~=~\dfrac{300~-~2x}{3}~=~100~-~\dfrac{2}{3}x}$

por tanto la función objetivo es

$\bold{A~=~x[100~-~\dfrac{2}{3}x] ~=~100x~-~\dfrac{2}{3}x^2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

$\bold{A'~=~ 100~-~\dfrac{4}{3}x}$

$\bold{A'~=~0 \qquad \Rightarrow \qquad 100~-~\dfrac{4}{3}x~=~0\qquad \Rightarrow}$

x  =  75          es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$\bold{A''~=~-\dfrac{4}{3}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$\bold{A''_{(75)}~=~-\dfrac{4}{3}~ < ~0\qquad \Rightarrow}$

x  =  75  m        es un máximo de la función A.

Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de y:

$\bold{ y~=~100~-~\dfrac{2}{3}(75)~=~50~m}$

Las dimensiones necesarias de cada uno de los dos corrales para que el área encerrada sea máxima son:  75  metros en los lados horizontales y 50 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.

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