Question

Calcular el valor de la función f(x)=sen(x) en el punto x=0.3, utilizando la representación seno como serie de McLaurin.

Answer 1

En cálculo la serie de McLaurin es un caso especial de la serie de Taylor en el que la función es evaluada en valores de x proximos al punto x=0. Es una serie de potencias cuya expresión maestra es:

$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\frac{f'''(0)x^3}{3!}+........\frac{f^{(n)}x^n}{n!}$

En este ejercicio vamos a usar una serie de grado 3, para aplicar la serie de McLaurin es necesario que la función converja en el punto x=0 y las derivadas sucesivas existan en ese punto. Para calcular el seno, por otro lado, el ángulo tiene que estar en radianes. Los coeficientes serán:

$f(0)=sen(0)=0\\f'(0)=cos(0)=1\\f''(0)=-sen(0)=0\\f'''(0)=-cos(0)=-1$

Así podemos armar el polinomio:

$f(x)=\frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}=x-\frac{x^3}{6}$

Quedó una serie de dos términos, como lo esperábamos, al ser una función impar, el polinomio es impar, reemplazando:

$f(0,3)=0,3-\frac{0,3^3}{6}=0,3-0,0045=0,2955$

Podemos calcular el error acotando el valor de x en:

$-1<x<1$

Tomamos el siguiente término distinto de cero que es el de orden 5:

$a_5=\frac{f^{(5)}(0)x}{5!}=\frac{cos(0)x}{5!}\\\\|x|<1\\|\frac{x}{5!}|<|\frac{1}{5!}|=\frac{1}{120}=0,0083$

Lo que significa que para el intervalo [-1;1], el valor calculado con nuestro polinomio de McLaurin es correcto hasta la segunda cifra decimal. En efecto el valor obtenido con calculadora es sen(0,3)=0,295520207

Con lo que el valor obtenido mediante el polinomio de McLaurin es 0,2955 para el seno de 0,3