Question

Calcular el maximo valor entero que puede tomar el perimetro de un triangulo rectangulo, si la altura reativa a la hipotenuza mide 7

Answer 1

Es un problema de valor máximo, con lo que habrá que ver cuál es la función a optimizar. En este caso lo que hay que optimizar es el perímetro (suma de los 3 lados). Dado que la hipotenusa es 7, nombraremos los otros dos lados como $x$ e $y$. Por lo tanto, la función perímetro es $P(x,y)=7+x+y$. Como sólo puede quedar 1 sola incógnita, necesitamos otra relación: el triángulo es rectángulo, luego se puede dar el teorema de Pitágoras: $7^2=x^2+y^2$. De aquí sacamos el valor de $y$:
$y^2=49-x^2\to y=\sqrt{49-x^2}$.
Ahora este valor lo cambiamos en nuestra función a optimizar:
$P(x)=7+x+\sqrt{49-x^2}$
Para calcular el óptimo, hay que derivar e igualar a cero:
$P'(x)=0+1+\frac{-2x}{2\sqrt{49-x^2}}\to P'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{49-x^2}}$
Igualando a cero:
$1=\frac{x}{\sqrt{49-x^2}}$
Elevando ambos miembros al cuadrado se va la raíz:
$1=\frac{x^2}{49-x^2}\to 49-x^2=x^2\to 2x^2=49\to x^2=\frac{49}{2}\to x=+\frac{7}{\sqrt{2}}=+\frac{7\sqrt{2}}{2}$
Dado que este valor no es entero, tenemos que ver a cuál se aproxima. Para ello, con ayuda de la calculadora, $x=4,94\to \boxed{x=5}$ es la aproximación del óptimo.