Question

Calcular el área de la región limitada por la curva y=x−x2 y el eje X, en el intervalo [0, 1] . El área se expresa en unidades cuadradas. Seleccione una: a. A=13 u2 b. A=94 u2 c. A=165 u2 d. A=16 u2

Answer 1

Calcular el área de la región limitada por la curva y = x −x² y el eje "X" en el intervalo [0, 1]. El área se expresa en unidades cuadradas. Seleccione una: a) A = 13 u² ; b) A = 94 u² ;  c) A = 165 u² ;  d) A = 16 u²

Hola!!!

Respuesta:  

Ninguna de las opciones  ⇒  A = 1/6 u²    

Explicación paso a paso:

Hallamos las coordenadas del Vértice de la Parábola, el corte con el eje "x" y a continuación realizamos un esquema grafico (ver archivo adjunto).

y = -x² + x    Parábola :  a = -1  ; b = 1   ; c = 0

xV = -b/2×a   ⇒  xv = -1/2×(-1)  ⇒ xV = 1/2  Abscisa del Vértice

y = -(1/2)² + 1/2

y = -1/4 + 1/2  ⇒  y = -1/4 + 2/4

y = 1/4   Ordenada del Vértice

V(1/2 ; 1/4)

Resolvemos la Integral:

∫₀¹(-x₂ + x)dx = ∫₀¹ -x²dx + ∫₀¹ xdx = -∫₀¹ x²dx + ∫₀¹ xdx =

-x³/3║₀¹ + x²/2║₀¹     ⇒   Regla de Barrow  F(b) - F(a)

-1³/3 - 0³/3 + 1²/2 - 0²/2 =

-1/3 - 0 + 1/2 - 0 =

-1/3 + 1/2 = -2/6 + 3/6 = 1/6  ⇒

Área de la Región limitada por la curva y el eje de las "x" = 1/6 u²

Saludos!!!