Question

Calcula mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los puntos que se indican por fa necesito ayuda

Answer 1

Hola,

La definición de derivada se expresa como:

$f '(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f (x+h)-f (x)}{h}$

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$f(x) = 2 {x}^{2} \: \: \: \: \: en \: \: x = - 7$

Entonces, cuando x = - 7, obtenemos los siguiente:

$f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{f (-7+h)-f (-7)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{f (-7+h)-f (-7)}{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2(-7+h) {}^{2} - (2( - 7 {)}^{2}) }{h} \\f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2( {h}^{2} - 14h + 49) - (2(49)) }{h} \\f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{2 {h}^{2} - 28h + 98 - 98 }{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{ {2h}^{2} - 28h }{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} \frac{h(2h - 28)}{h} \\ f '(-7)= \lim_{h \to 0} 2h - 28 \\ f '(-7)=2(0) - 28 \\ f '(-7)= - 28$

Respuesta: La derivada de la función es f'(- 7) = - 28.

$----------------------$

$f(x) = \sqrt{1 + 2x} \: \: \: \: en \: \: x = 4$
Entonces, cuando x = 4, obtenemos los siguiente:

$f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{f (4+h)-f (4)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 + 2(4 + h)} - \sqrt{1 + 2(4)} }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{1 + 8 + 2h} - \sqrt{1 +8} }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{9 + 2h} -3 }{h} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ \sqrt{9 + 2h} -3 }{h} \times \frac{ \sqrt{9 + 2h} + 3 }{ \sqrt{9 + 2h} + 3 } \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{ {( \sqrt{9 + 2h })}^{2} - {(3)}^{2} }{h \times ( \sqrt{9 + 2h } + 3)} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{9 + 2h - 9}{h \times (\sqrt{9 + 2h } + 3)} \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h \times ( \sqrt{9 + 2h } + 3) } \\ f '(4)= \lim_{h \to 0} \frac{2}{ \sqrt{9 + 2h} + 3 } \\ f '(4)= \frac{2}{ \sqrt{9 + 2(0)} + 3} \\ f '(4)= \frac{2}{3 + 3} \\ f '(4)= = \frac{2}{6} \\ f '(4)= \frac{1}{3}$

Respuesta: La derivada de la función es f'(4) = $\frac{1}{3}$.

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$f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2x - 1} } \: \: \: \: en \: \: x = 1$

Entonces, cuando x = 1, obtenemos los siguiente:

$f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{f (1+h)-f (1)}{h}$

Ahora, la derivada de la función mencionada es:

$f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{f (1+h)-f (1)}{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{2(1 + h) - 1} } - \frac{1}{ \sqrt{2(1) - 1} } }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{2 +2 h - 1} } - \frac{1}{ \sqrt{ 1} } }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{ 2 h + 1} } - \frac{1}{1 } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{ \sqrt{ 2 h + 1} } - 1 }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - \sqrt{2h + 1} }{ \sqrt{ 2 h + 1} } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - \sqrt{2h + 1} }{ \sqrt{ 2 h + 1} } \times \frac{1 + \sqrt{2h + 1} }{1 + \sqrt{2h + 1} } }{h} \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{(1 {)}^{2} - (\sqrt{2h + 1} {)}^{2} }{ \sqrt{ 2 h + 1}(1 + \sqrt{2h + 1} ) } }{h } \\f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1 - 2h - 1}{ \sqrt{2h + 1} + 2h + 1} }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{ - 2h}{\sqrt{2h + 1} + 2h + 1} }{h} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ - 2h}{h \times (\sqrt{2h + 1} + 2h + 1)} \\ f '(1)= \lim_{h \to 0} \frac{ - 2}{ \sqrt{2h + 1} + 2h + 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{ \sqrt{2(0)+ 1} + 2(0)+ 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{ \sqrt{ 1} + 2(0)+ 1} \\ \ f '(1)= \frac{ - 2}{ 1 + 1} \\ f '(1)= \frac{ - 2}{2} \\ f '(1)= - 1$

Respuesta: La derivada de la función es f'(1) = - 1.

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Espero que te sirva, Saludos.