Question

calcula la distancia de los puntos A=(2,3,-1) y B=(1,4,0) a la recta r:(x,y,z)=(1,3,-2)+k(1,0,1)

Answer 1

Sea O un punto de la recta y P el punto dado.

Se demuestra que d = |OP ∧ u| / |u|

u es el vector director de la recta: u = (1, 0, 1)

|u| = √(1² + 0² + 1²) = √2

Punto A: OA = (2, 3, -1) - (1, 3, -2) = (1, 0, 1)
 
OA ∧ u = (1, 0, 1) ∧ (1, 0, 1) = 0; d = 0 (el punto A pertenece a la recta)

Punto B: OB = (1, 4, 0) - (1, 3, -2) = (2, 1, 2)

OB ∧ u = (2, 1, 2) ∧ (1, 0,1) = (1, 0, -1)

|OA ∧ u|  = √(1² + 0² + 1²) = √2

d = √2 / √2 = 1

Saludos Herminio

Answer 2

La distancia de los puntos A y B a la recta r es:

d_A = 0

d_B =√3

Explicación:

Dados,  

A=(2,3,-1)

B=(1,4,0)

r:(x,y,z)=(1,3,-2)+k(1,0,1)

La distancia de un punto a una recta en R₃, esta descrita por la siguiente formula;

$d=\frac{|M_{0} M_{1}xs|}{|s|}$

Distancia de A a la recta r:

Siendo;

M₀: (2,3,-1)

M₁: (1, 3,-2)

s: (1, 0, 1)

M₀M₁ = (2-1, 3-3, -1+2)

M₀M₁ = (-1, 0 , -1)

|s| = √[(1)²+(0)²+(1)²]

|s| = √2

Producto vectorial;

$M_{0} M_{1}xs = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-1&0&-1\\1&0&1\end{array}\right]$

M₀M₁xs = 0i -(-1+1)j +0k

M₀M₁xs = 0

Sustituir;

d = 0/√2

d = 0              

El punto A pertenece a la recta r.

Distancia de B a la recta r:

Siendo;

M₀: (1,4,0)

M₁: (1, 3,-2)

s: (1, 0, 1)

M₀M₁ = (1-1, 3-4, -2-0)

M₀M₁ = (0, -1 , -2)

|s| = √[(1)²+(0)²+(1)²]

|s| = √2

Producto vectorial;

$M_{0} M_{1}xs = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&-1&-2\\1&0&1\end{array}\right]$

M₀M₁xs = -i -(2)j +k

M₀M₁xs = -i-2j+k

|M₀M₁xs| = √[(-1)²+(-2)²+(1)²]

|M₀M₁xs| = √6  

Sustituir;

d = √6 /√2      

d = √3      

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