Question

Calcula el valor del ángulo C del siguiente triángulo oblicuángulo. Expresa las unidades en metros.

Answer 1

El valor del ángulo C en el triángulo oblicuángulo de de 109° 62'

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno.

¿Qué es el Teorema del Coseno?

• El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

• El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados opuestos a estos ángulos respectivamente,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed{\bold {a^{2} = b^{2} +c^{2} -2 \ . \ b\ . \ c \ .\ cos(\alpha)}}$

$\boxed{\bold {b^{2} = a^{2} +c^{2} -2 \ . \ a\ . \ c \ .\ cos(\beta)}}$

$\boxed{\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} -2 \ . \ a\ . \ b \ .\ cos(\gamma)}}$

Estas relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo se pueden observar en el gráfico adjunto

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo

Resolución del problema:

• Nos piden hallar el valor del ángulo C -al que llamé γ- en un triángulo oblicuángulo

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed{\bold {AB^{2} = BC^{2} +AC^{2} -2 \ . \ BC\ . \ AC \ .\ cos(\gamma)}}$

ó

$\boxed{\bold {c^{2} = a^{2} +b^{2} -2 \ . \ a\ . \ b \ .\ cos(\gamma)}}$

Reemplazamos valores,

$\boxed{\bold {70^{2} = 50^{2} +35^{2} -2 \ . \ 50\ . \ 35 \ .\ cos(\gamma)}}$

$\boxed{\bold {4900 = 2500 +1225 - 3500 \ .\ cos(\gamma)}}$

$\boxed{\bold {4900 = 3725 - 3500 \ .\ cos(\gamma)}}$

$\boxed{\bold {4900 - 3725 = - 3500 \ .\ cos(\gamma)}}$

$\boxed{\bold {1175 = - 3500 \ .\ cos(\gamma)}}$    

$\boxed{\bold {cos (\gamma) = \left (-\frac{1175}{3500} \right)}}$

$\boxed {\bold { \gamma = arccos \left (-\frac{47}{110} \right)}}$

$\boxed{\bold {\gamma = 109\°62'}}$