Question

Ayudenme por favor
¿Cuántas canicas iguales son necesarias para formar
una pirámide, cuya base es un triángulo equilátero
de 20 canicas por lado?
C) 210
A) 770
D) 1980
B) 1540.
E) 3080​

Answer 1

El número de canicas necesarias para construir una pirámide cuya base sea un tríangulo equilatero con 20 canicas por lado  es 1540 canicas

Explicación:

Para construir tal pirámide, hay que notar que esta está formada por varios niveles, cada nivel es un triángulo equilátero con un determinado número de canicas por lado, el número de canicas por lado desciende en una canica, es decir, la base tiene 20 canicas por lado, el nivel siguiente tiene 19 por lado, el siguiente 18 y así hasta llegar a tener solo una canica por lado.

Hay que hacer ciertas anotaciones para llegar al resultado.

• Un nivel con n canicas por lado tiene n(n+1)/2 canicas en total
• Si sumas los n primeros números el resultado es n(+1)/2, es decir: 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
• Si sumas los cuadrados de los n primeros números, el resultado es n(n+1)(2n+1)/6, es decir: 1+2^2+3^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
• Si sumas varias fracciones con el mismo numerador, es lo mismo que dividir la suma de los numeradores entre ese denominador, es decir, a1/b+a2/b+a3/b+...+aN/b = (a1+a2+a3+...+aN)/b

Ahora que sabemos cuantas canicas tienen cada nivel, simplemente los sumamos, voy a utilizar la notación ∑ para representar esa suma, es decir:

$NumCanicas = \sum_{i=1}^{20}{canicas_{i}}$

Esta fórmula simplemente dice: "El número total de canicas es la suma de las canicas en cada nivel, desde el primer nivel hasta el nivel número 20". Por otra parte, sabemos que canicas_i es el número de canicas en el nivel i, pero, eso ese número es exactamente i(i+1)/2, lo que quedaría

$NumCanicas = \sum_{i=1}^{20}{\frac{i(i+1)}{2}} =  \sum_{i=1}^{20}{\frac{i^2 + i}{2}}$

Como dije antes, la suma de una división es la división de la suma, es decir

$\sum_{i=1}^{20}{\frac{i^2 + i}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{20}{i^2+i}$.

Otra cosa muy importante por resaltar es lo siguiente, si sumo a (i^2 + i) desde i = 1 hasta i = 20 juntos va ser lo mismo que si sumara i^2 e i separadamente y luego sumara los resultados de sus sumas, es decir

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{20}{i^2 + i} = \frac{1}{2}[ ( \sum_{i=1}^{20}{i^2}) + (\sum_{i=1}^{20}{i})]$.

Como sabemos que la suma de los 20 primeros numeros (1+2+3+...+20) es 20(21)/2 = 210 y la suma de los cuadrados de los 20 primeros numeros es 20(21)(2*20+1)/6=2870, sumamos estos resultados que da 2870+210 = 3080 y dividiéndolo con 2, obtenemos el número total de canicas, que es 3080/2 =1540 canicas

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:
Nos dice que su base es equilátera y formada por 20 canicas cada lado, siendo ese el primer nivel, el siguiente nivel se formaría por 19 canicas por lado y así sucesivamente hasta llegar a 1 por lado. Para hallar todas hallaríamos el total de canicas por nivel.

En el primero lo hallamos usando la formula n(n+1)/2
20(21)/2
El siguiente 19(20)/2
De ahí 18(19)/2
Y así sucesivamente hasta llegar a 1(2)/2

Notamos que el entre 2 se repite en cada uno, quedaría:
( 20(21) + 19(20) + 18(19) + 17(18) + . . . 1(2) ) / 2 Todo dividido entre dos

Usamos la formula para estos casos de los dos números consecutivos multiplicados entre sí: n(n+1)(n+2)/3

( 20(21)22 ) / 3.2
( 10(21)22 ) / 3
( 10(7)22 )
( 70(22) ) = 1540