Question

Ayuda por favor con estos otros ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Determine la derivada de las siguientes funciones (Ver Imagen)

Answer 1

Para las siguientes derivadas vamos a aplicar las propiedades de la derivada:
La derivada del producto de dos funciones.

$f(x)=(u)(v) \\ f'(x)=(u')(v)+(v')(u)$

También la derivada del cociente

$f(x)= \frac{u}{v} \\ f'(x)= \frac{(u')(v)-(v')(u)}{ v^{2} }$

La derivada de un cociente también podemos derivarla como un producto:
$f(x)= \frac{u}{v} =u v^{-1} \\ f'(x)=(u')( v^{-1} )+( v^{-1} ')(u)$

Listo con todo ésto y las derivadas que mencioné en la tarea anterior..vamos a resolver..

$a)f(x)=x e^{x} \\ f'(x)=(x')( e^{x} )+( e^{x}' )(x) \\ f'(x)=(1) e^{x} +( e^{x} )(x) \\ f'(x)= e^{x} +x e^{x} \\ \\ b)f(x)= x^{2} ln(x) \\ f'(x)=( x^{2} ')(ln(x))+(ln(x)')( x^{2} ) \\ f'(x)=2x(ln(x))+ \frac{1}{x} x^{2} \\ f'(x)=2xln(x)+x \\ \\ c)f(x)= \frac{ x^{4} }{ e^{x} } \\ f(x)= x^{4} e^{-x} \\ f'(x)=( x^{4}' )( e^{-x} )+( e^{-x} ')( x^{4} ) \\ f'(x)=4 x^{3} e^{-x} - e^{-x} x^{4}$

$d)f(x)= \frac{ e^{x} }{ln(x)} \\ f'(x)= \frac{( e^{x} ')(ln(x))-(ln(x)')( e^{x} )}{ (ln(x))^{2} } \\ f'(x) = \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{1}{x} e^{x} }{(ln(x) )^{2}} \\ f'(x)= \frac{ e^{x}ln(x)- \frac{ e^{x} }{x} }{(ln(x)) ^{2} } \\ \\ e)f(x)= \frac{ln(x)}{x} \\ f(x)= ln(x) x^{-1} \\ f'(x)=(ln(x)')( x^{-1} )+( x^{-1}' )(ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{x} x^{-1} -1 x^{-2} (ln(x)) \\ f'(x)= \frac{1}{ x^{2} } - \frac{ln(x)}{ x^{2} } = \frac{1-ln(x)}{ x^{2} }$

$f)f(x)= x^{2} 2^{x} \\ f'(x)=( x^{2} ')( 2^{x} )+( x^{2} )( 2^{x}' ) \\ f'(x)=2x( 2^{x} )+ x^{2} ( 2^{x}ln(2) )$

La última derivada no la mencioné es ésta..

$f(x)= a^{x} \\ f'(x)= a^{x} ln(a)$

Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas