Question

Ayuda plis
Determine la ecuación de la recta normal a la curva f(x)=ax/(bx+a) en el punto de abscisa x=1. Dar como respuesta el interceptó al Eje Y. Considere el valor de a=6, b=12.
Doy coronita es urgente ​

Answer 1

La ecuación de la recta normal a la curva en el punto de abscisa 1 es 27x+3y-28=0.

¿Cómo hallar la ecuación de la recta normal a la curva?

Si en la ecuación tenemos a=6 y b=12, la ecuación de la función es la siguiente:

$f(x)=\frac{ax}{bx+a}=\frac{6x}{12x+6}$

En el denominador podemos extraer un factor común de 6 para simplificar la expresión:

$f(x)=\frac{6x}{6(2x+1)}=\frac{x}{2x+1}$

Un punto de la recta será el de abscisa 1, ya que en ese punto la recta será normal a la función, la ordenada de este punto es:

$f(1)=\frac{1}{2.1+1}=\frac{1}{3}$

Entonces, la recta pasará por el punto $(1,\frac{1}{3})$, la pendiente de esta recta normal será la inversa de la derivada de la función en x=1. El valor de esta derivada es:

$f'(x)=\frac{1(2x+1)-x(2)}{(2x+1)^2}=\frac{(2x+1)-2x}{(2x+1)^2}=\frac{1}{(2x+1)^2}\\\\f'(1)=\frac{1}{(2.1+1)^2}=\frac{1}{9}$

Entonces, la pendiente de la recta normal es $-\frac{1}{f'(1)}=-\frac{1}{\frac{1}{9}}=-9$.

Aplicando la ecuación punto-pendiente podemos hallar la ecuación de la recta normal:

$y=-9x+b\\\\\frac{1}{3}=-9.1+b\\\\b=\frac{1}{3}+9=\frac{28}{3}\\\\y=-9x+\frac{28}{3}$

Multiplicando en ambos miembros por 3 y colocando todo en un solo miembro, podemos hallar la ecuación implícita de la recta:

$3y=-27x+28\\\\27x+3y-28=0$

Aprende más sobre la recta tangente en https://brainly.lat/tarea/42339164

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